人教A版高中数学选修2-2《1.3.2函数的极值与导数》参考学案

由天下分享时间：2024/9/9 5:19:58 加入收藏我要投稿点赞

§1.3.2函数的极值与导数

学习目标

1.理解极大值、极小值的概念；

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤. 学习过程一、课前准备

（预习教材P93~ P96，找出疑惑之处）

复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y??0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为函数；如果在这个区间内y??0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的函数.

复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f?(x). ②令解不等式，得x的范围就是递增区间.③令解不等式，得x的范围，就是递减区间 . 二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：

问题1：如下图，函数y?f(x)在a,b,c,d,e,f,g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y?f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y?f(x)的导数的符号有什么规律？

看出，函数y?f(x)在点x?a的函数值f(a)比它在点x?a附近其它点的函数值都，f?(a)? ；且在点x?a附近的左侧f?(x) 0，右侧f?(x) 0. 类似地，函数y?f(x)在点x?b的函数值f(b)比它在点x?b附近其它点的函数值都，f?(b)? ；而且在点x?b附近的左侧f?(x) 0，右侧f?(x) 0. 新知：

我们把点a叫做函数y?f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y?f(x)的极小值；点b叫做函数y?f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y?f(x)的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的，刻画的是函数的 . 试试：

（1）函数的极值（填是，不是）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点（能，不能）成为极值点.

反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.

比如：函数f(x)?x3在x=0处的导数为，但它（是或不是）极值点. 即：导数为0是点为极值点的条件. ※ 典型例题

例1 求函数y?x3?4x?4的极值.

变式1：已知函数f(x)?ax3?bx2?cx在点x0处取得极大值5，其导函数y?f?(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) x0的值；(2)a，b，c的值.

小结：求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)求方程f′(x)=0的根 13y o 1 2 x (4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符

号，那么f(x)在这个根处无极值. 变式2：已知函数f(x)?x3?3x2?9x?11. （1）写出函数的递减区间；

（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.

※ 动手试试

练1. 求下列函数的极值：（1）f(x)?6x2?x?2；（2）f(x)?x3?27x；（3）f(x)?6?12x?x3；（4）f(x)?3x?x3.

练2. 下图是导函数y?f?(x)的图象，试找出函数y?f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 求可导函数f(x)的极值的步骤；

2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象. ※ 知识拓展

函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点. 由些可见：“有极值但不一定可导” 学习评价

※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 函数y?2?x2?x3的极值情况是（）

A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也极小值

2. 三次函数当x?1时，有极大值4；当x?3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（）