作AG⊥DF于点G，设AD=5a，则DG=3a，AG=4a， ∴FG=DF﹣DG=5+n﹣3a， ∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E=∠F， 易证△AFG∽△CEH，
∴=，
∴=，
∴a=，
∴AD=5a=．
【点评】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、直角三角形的30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（12分）（2017?武汉）已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；
（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射
线CD方向匀速运动，速度为每秒
个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式； （2）根据点A、F的坐标利用待定系数法，可求出直线AF的解析式，联立直线AF和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点G的坐标，进而可得出点H的坐标，利用分解因式法将抛物线解析式变形为交点式，由此可得出点E的坐标，再根据点A、E（F、H）的坐标利用待定系数法，可求出直线AE（FH）的解析式，由此可证出FH∥AE；
（3）根据点A、B的坐标利用待定系数法，可求出直线AB的解析式，进而可找出点P、Q的坐标，分点M在线段PQ上以及点M在线段QP的延长线上两种情况考虑，借助相似三角形的性质可得出点M的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=ax2+bx中，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．
（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m， 将点A（﹣1，1）代入y=kx+m中，即﹣k+m=1， ∴k=m﹣1，
∴直线AF的解析式为y=（m﹣1）x+m． 联立直线AF和抛物线解析式成方程组，
，解得：，，
∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）． ∵GH⊥x轴，
∴点H的坐标为（2m，0）．
∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1）， ∴点E的坐标为（1，0）． 设直线AE的解析式为y=k1x+b1，
将A（﹣1，1）、E（1，0）代入y=k1x+b1中，
，解得：，
∴直线AE的解析式为y=﹣x+． 设直线FH的解析式为y=k2x+b2，
将F（0，m）、H（2m，0）代入y=k2x+b2中，
，解得：，
∴直线FH的解析式为y=﹣x+m．
∴FH∥AE．
（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0， 将A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=k0x+b0中，
，解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+2．
当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣2，t），点Q的坐标为（t，0）． 当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示． ∵QM=2PM，
∴==，
∴QM′=，MM′=t，
∴点M的坐标为（t﹣，t）．
又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，
∴t=×（t﹣）2﹣（t﹣），
解得：t=；
当点M在线段QP的延长线上时， 同理可得出点M的坐标为（t﹣4，2t），
∵点M在抛物线y=x2﹣x上，
∴2t=×（t﹣4）2﹣（t﹣4），
解得：t=．
综上所述：当运动时间为QM=2PM．
秒、秒、秒或秒时，
2018年湖北省武汉市中考数学试卷
2017-2019连续三年武汉市中考数学试题及答案
