作AG⊥DF于点G,设AD=5a,则DG=3a,AG=4a, ∴FG=DF﹣DG=5+n﹣3a, ∵CH⊥AD,AG⊥DF,∠E=∠F, 易证△AFG∽△CEH,
∴=,
∴=,
∴a=,
∴AD=5a=.
【点评】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、直角三角形的30度角性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考压轴题.
24.(12分)(2017?武汉)已知点A(﹣1,1)、B(4,6)在抛物线y=ax2+bx上
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点F的坐标为(0,m)(m>2),直线AF交抛物线于另一点G,过点G作x轴的垂线,垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E,连接FH、AE,求证:FH∥AE;
(3)如图2,直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点.点P从点C出发,沿射
线CD方向匀速运动,速度为每秒
个单位长度;同时点Q从原点O出发,沿x轴正方向匀速运动,速度为每秒1个单位长度.点M是直线PQ与抛物线的一个交点,当运动到t秒时,QM=2PM,直接写出t的值.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)根据点A、B的坐标利用待定系数法,即可求出抛物线的解析式; (2)根据点A、F的坐标利用待定系数法,可求出直线AF的解析式,联立直线AF和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点G的坐标,进而可得出点H的坐标,利用分解因式法将抛物线解析式变形为交点式,由此可得出点E的坐标,再根据点A、E(F、H)的坐标利用待定系数法,可求出直线AE(FH)的解析式,由此可证出FH∥AE;
(3)根据点A、B的坐标利用待定系数法,可求出直线AB的解析式,进而可找出点P、Q的坐标,分点M在线段PQ上以及点M在线段QP的延长线上两种情况考虑,借助相似三角形的性质可得出点M的坐标,再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程,解之即可得出结论. 【解答】解:(1)将点A(﹣1,1)、B(4,6)代入y=ax2+bx中,
,解得:,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x.
(2)证明:设直线AF的解析式为y=kx+m, 将点A(﹣1,1)代入y=kx+m中,即﹣k+m=1, ∴k=m﹣1,
∴直线AF的解析式为y=(m﹣1)x+m. 联立直线AF和抛物线解析式成方程组,
,解得:,,
∴点G的坐标为(2m,2m2﹣m). ∵GH⊥x轴,
∴点H的坐标为(2m,0).
∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x(x﹣1), ∴点E的坐标为(1,0). 设直线AE的解析式为y=k1x+b1,
将A(﹣1,1)、E(1,0)代入y=k1x+b1中,
,解得:,
∴直线AE的解析式为y=﹣x+. 设直线FH的解析式为y=k2x+b2,
将F(0,m)、H(2m,0)代入y=k2x+b2中,
,解得:,
∴直线FH的解析式为y=﹣x+m.
∴FH∥AE.
(3)设直线AB的解析式为y=k0x+b0, 将A(﹣1,1)、B(4,6)代入y=k0x+b0中,
,解得:,
∴直线AB的解析式为y=x+2.
当运动时间为t秒时,点P的坐标为(t﹣2,t),点Q的坐标为(t,0). 当点M在线段PQ上时,过点P作PP′⊥x轴于点P′,过点M作MM′⊥x轴于点M′,则△PQP′∽△MQM′,如图2所示. ∵QM=2PM,
∴==,
∴QM′=,MM′=t,
∴点M的坐标为(t﹣,t).
又∵点M在抛物线y=x2﹣x上,
∴t=×(t﹣)2﹣(t﹣),
解得:t=;
当点M在线段QP的延长线上时, 同理可得出点M的坐标为(t﹣4,2t),
∵点M在抛物线y=x2﹣x上,
∴2t=×(t﹣4)2﹣(t﹣4),
解得:t=.
综上所述:当运动时间为QM=2PM.
秒、秒、秒或秒时,
2018年湖北省武汉市中考数学试卷
2017-2019连续三年武汉市中考数学试题及答案
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