定积分与微积分基本定理习题
一、选择题
1． a＝?2xdx，b＝?2edx，c＝?2sinxdx，则a、b、c的大小关系是( )
x?0?0?0
A．a 2 B．a 3 D．c 2．由曲线y＝x，y＝x围成的封闭图形面积为( ) 练习、设点P在曲线y＝x上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线y＝x2 2 及直线x＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P的坐标是( ) 3 3．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x所围成的图形的面积为( ) A．4 D．6 4． ?1－1(sinx＋1)dx的值为( ) ? A．0 B．2 C．2＋2cos1 D．2－2cos1 5．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是( ) A．2π B．3π D．π 6．函数F(x)＝?xt(t－4)dt在[－1,5]上( ) ?0 32 A．有最大值0，无最小值 B．有最大值0和最小值－ 332 C．有最小值－，无最大值 D．既无最大值也无最小值 3 12 7．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝2n＋n，函数f(x)＝?xdt，若f(x) ?1t B．(0，e) C．(e21－11 ，e) D．(0，e) 11 8．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( ) x＋2－2≤x<0?? 9．函数f(x)＝?π 2cosx0≤x≤?2? B．1 C．4 的图象与x轴所围成的图形面积S为( ) 10．设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－]＝－2，[]＝1，[1]＝1.又函数 xg(x)＝－，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n，则?ng(x)dx的 3 ?m值是( ) 5A．－ 2 457B．－ C．－ D．－ 346 11．甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为 b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可以相等)，若关于x的方程x2＋2bx＋c＝0有 实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( ) 2 12．已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x(x≥0)与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是( ) 二、填空题 13．已知函数f(x)＝3x＋2x＋1，若?1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________. 2 ? π162 14．已知a＝∫0(sinx＋cosx)dx，则二项式(ax－)的展开式中含x项的系数是________． 2x15．抛物线y＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________． 42 16．抛物线y＝ax(a>0)与直线x＝1围成的封闭图形的面积为，若直线l与抛物线相切且平行于直线 32x－y＋6＝0，则l的方程为______． 17．已知函数f(x)＝－x＋ax＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数1 图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为________． 12 3 2 2 三、解答题 18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y＝x，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1 ＋S2最小． 2 122xx222 1、 [答案] D[解析] a＝?2xdx＝x|0＝2，b＝?2edx＝e|0＝e－1>2，c＝?2sinxdx＝－cosx|0＝1 2 ?0?0?0 －cos2∈(1,2)，∴c 2 ??y＝x2、[答案] A[解析] 由?3 ?y＝x? 得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S＝?1(x－x)dx＝ 23 ?0 ?1x3－1x4??1＝1. ?3?0 4????12 练习； [答案] A[解析] 设P(t，t)(0≤t≤2)，则直线OP：y＝tx，∴S1＝?(tx－x)dx＝；S2＝?2 6?? 0 2 t2 t3 t8t34?416?(x－tx)dx＝－2t＋，若S1＝S2，则t＝，∴P?，?. 363?39? 2 3、[答案] A[解析] S＝?xdx＝ 23 ?0 ?? 4 2π x4?2 0 ＝4. 1 4、[答案] B[解析] ?1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－1＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2. ?5、[答案] A[解析] 如右图，S＝∫0(1－cosx)dx＝(x－sinx)|0 2π ＝2π. 6、[答案] B[解析] F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，73225 ∵F(－1)＝－，F(0)＝0，F(4)＝－，F(5)＝－.∴最大值为0， 333－32 . 3 x2＝4， 最小值为 1x11 7、[答案] D；[解析] f(x)＝?xdt＝lnt|1＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0 ?1t8、[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝?π ?0 sinxdx＝－cosx|0＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P＝ π SS矩形OABC＝ 21＝. 2ππ ππ 9、[答案] C[解析] 面积S＝∫－2f(x)dx＝?0－2(x＋2)dx＋∫02cosxdx＝2＋2＝4. 22? 10、 [答案] A[解析] 由题意可得，当0 ?x?所以m＝1，n＝4，则?g(x)dx＝??－?dx＝ ?m?1?3? n4 2 5 －?1＝－. 6?2 2 2 x2?4 11、[答案] A；[解析] 方程x＋2bx＋c＝0有实根的充要条件为Δ＝4b－4c≥0，即b≥c， 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝12、[答案] C； ?bdb?01 1×1 12 ＝. 3 13112 [解析] 如图，正方形面积1，区域M的面积为S＝?1xdx＝x|0＝，故所 33 ?0 1 求概率p＝. 3 12321 13、 [答案] －1或；[解析] ∵?1－1f(x)dx＝?1－1(3x＋2x＋1)dx＝(x＋x＋x)|－1＝4，?1－ 3???12 1f(x)dx＝2f(a)，∴6a＋4a＋2＝4，∴a＝－1或. 3 14、 [答案] －192；[解析] 由已知得a＝∫ πππ －0(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|0＝(sin 222 π16rr6－r3－rcos)－(sin0－cos0)＝2，(2x－)的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝(－1)×C6×2×x，令3－r＝ 2x2得，r＝1，故其系数为(－1)×C6×2＝－192. ??y＝2x15、[答案] 18[解析] 由方程组? ?y＝4－x? 2 1 1 5 解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量x＝、 2 y2 x＝4－y ∴S＝?2－4[(4－y)－]dy＝(4y－－)|－4＝18. 226? y2y2y3 2 2 16、 [答案] 16x－8y＋1＝0[解析] 由题意知?1axdx＝，∴a＝1， 3? 0 1222 设l：y＝2x＋b代入y＝x中，消去y得，4x＋(4b－1)x＋b＝0，由Δ＝0得，b＝， 8∴l方程为16x－8y＋1＝0. 17、 [答案] －1 [解析] f ′(x)＝－3x＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x＋ax，令f(x)＝0，得x＝014132 或x＝a(a<0)．S阴影＝－?0(－x＋ax)dx＝a＝，∴a＝－1. 1212? a2 3 2 2322 18、 [解析] 由题意得S1＝t·t－?txdx＝t， 3? 0 S2＝?1x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋，所以S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)． ?t2 3134313 1?1?2 又S′(t)＝4t－2t＝4t?t－?，令S′(t)＝0，得t＝或t＝0. 2?2?11 因为当0 22 11?1??1?所以S(t)在区间?0，?上单调递减，在区间?，1?上单调递增．所以，当t＝时，Smin＝. 24?2??2?
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
