专升本高等数学测试题
1.函数y?1?sinx是( D ).
(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 单调增加函数; (D) 有界函数. 解析 因为?1?sinx?1,即0?1?sinx?2, 所以函数y?1?sinx为有界函数. 2.若f(u)可导,且y?f(e),则有( B );
(A)dy?f'(e)dx; (B)dy?f'(e)edx; (C)dy?f(e)edx; (D)dy?[f(e)]'edx.
x解析 y?f(e)可以看作由y?f(u)和u?e复合而成的复合函数
xxxxxxxxx由复合函数求导法 y??f?(u)e????f?(u)?exxxx,
所以 dy?y??dx?f'(e)edx. 3.
???0e?xdx=( B );
(A)不收敛; (B)1; (C)-1; (D)0.
???x??0解析
?0edx??ex?x?0?1?1.
4.y???2y??y?(x?1)e的特解形式可设为( A );
2x (A)x(ax?b)e ; (B) x(ax?b)e;
x
x (C) (ax?b)e; (D) (ax?b)x.
22x解析 特征方程为r?2r?1?0,特征根为 r1=r2=1.?=1是特征方程的特征重根,于是有yp?x(ax?b)e.
25.
??Dx2?y2dxdy?( C ),其中D:1≤x2?y2≤4;
(A) (C)
??2π02π0d??r2dr; (B)
14??2π02π0d??rdr;
14d??r2dr; (D)
12d??rdr.
12解析 此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式. 当??x?rcos?22时,dxdy?rdrd?,由于1≤x?y≤4,D表示为 1?r?2,0???2π,故
?y?rsin???Dx2?y2dxdy???r?rdrd??D?2π0d??r2dr.
12
精选
6.函数y=
x?arcsin(?1)的定义域
23?x21解由所给函数知,要使函数有定义,必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负;反正弦函数符号内的式子绝对值小
于等于1.可建立不等式组,并求出联立不等式组的解.即
??? ??????3?x?3, 3?x2?0, 推得??0?x?4,x?1?1,23, 因此,所给函数的定义域为 [0,3).
3?x?0,即 0?x?7. 求极限lim2?x?2 =
x?22?x解:原式=lim(2?x?2)(2?x?2)
x?2(2?x)(2?x?2)1
x?22?x?2 =lim=
1. (恒等变换之后“能代就代”) 4=
?8.求极限limx?1x1sinπtdt1?cosπx0解:此极限是“”型未定型,由洛必达法则,得
0? limx?1x1sinπtdt=limx?1(?sinπtdt)?1x1?cosπx
(1?cosπx)?=limsinπx11?lim()??
x?1?πsinπxx?1?ππ9.曲线??x?t,在点(1,1)处切线的斜率 3?y?t,?1?t,?t?1, ?31?t,?解:由题意知:
dy?
dxt?1(t3)??(t)?t?1?3t2t?1?3,
?曲线在点(1,1)处切线的斜率为3
10. 方程y''?2y'?y?0, 的通解为 解: 特征方程r?2r?1?0, 特征根r1?r2?1,
精选
2通解为y?(C1?C2x)e. 11. 交错级数
x?(?1)n?1n?1?1的敛散性为
n(n?1)?11=?,
n(n?1)n?1n(n?1)(4) ???(?1)n?1?n?1而级数
1收敛,故原级数绝对收敛. ?n(n?1)n?1
12.lim(1?1x). (第二个重要极限) 2x??x1x1x1x1?x?1?1解一 原式=lim(1?)(1?)?lim(1?)?lim[(1?)]=ee?1,
x??x?0x??xxxx1(?x2)(?x)0]=e?1. 解二 原式=lim[(1?2)x??x113.lim[x?011?2ln(1?x)] xx0?或型. 0?
解 所求极限为???型 ,不能直接用洛必达法则,通分后可变成
11x?ln(1?x)lim[?2ln(1?x)]?lim?limx?0xx?0x?0xx2 ?limex1?11?x 2x1?x?111?lim?.
x?02x(1?x)x?02(1?x)214.设f(x)?x,求f'(x).
解:令y?xe, 两边取对数得:lny?elnx, 两边关于x求导数得:
xx1exx ?y'?e?lnx?
yxexy'?y(elnx?)
xxex). 即 y'?x(elnx?xexx15.求f(x)?x3+3x在闭区间??5,5?上的极大值与极小值,最大值与最小值.
22解:f?(x)?3x?6x, 令f?(x)?0, 得x1?0,x2??2,
精选
f??(x)?6x?6, f??(0)?6?0, f??(?2)??6?0,
∴f(x)的极大值为f(?2)?4,极小值为f(0)?0. ∵f(?5)??50, f(5)?200.
∴ 比较f(?5),f(?2),f(0),f(5)的大小可知:
f(x)最大值为200, 最小值为?50.
16.求不定积分
?1?11?xdx.
2解: 令1?x?t, 则 x?t?1 , dx?2tdt,于是
原式=
2tt?1?1dt==dt2dt2[dt??1?t?1?t??1?t]=2t?2ln1?t?C
=21?x?2ln1?1?x?C.
17.求定积分
?1?041?xxdx .
解:(1)利用换元积分法,注意在换元时必须同时换限.
令 t?x ,x?t2 ,dx?2tdt ,
当x?0时,t?0,当x?4时,t?2,于是
21?t4==2tdt[4?2t?]dt dx?0?01?x?01?t1?t41?x22?4t?t?4ln1?t?4?4ln3.0
?2?18. 求方程 (ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0的通解;
xyyx解 整理得 e(e?1)dx??e(e?1)dy,
eyexdy??xdx, 用分离变量法,得 ye?1e?1两边求不定积分,得 ln(e?1)??ln(e?1)?lnC, 于是所求方程的通解为 e?1?即 e?yyyxC, xe?1C?1. xe?1精选
19.u?esinxy, 求
x?u?x,(0,1)?u?y.
(1,0)解:因
?u?exsinxy?excosxy?y?ex(sinxy?ycosxy), ?x?u?excosxy?x, ?y??u?x?u?y?e0(sin0?cos0)?1,
(0,1)?e(cos0?1)?e.
(1,0)20.画出二次积分
?20dy?2?4?y22?4?y2f?x,y?dx的积分区域D并交换积分次序.
y 0?y?2,??解:D:?
22??2?4?y?x?2?4?y?0?x?4,的图形如右图,由图可知,D也可表为? ?2??0?y?4x?x,O 2 4 x 所以交换积分次序后,得
?40dx?04x?xf?x,y?dy.
2
21.求平行于y轴,且过点A(1,?5,1)与B(3,2,?3)的平面方程.
解一 利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量n.因为平面平行于y轴,所以n?j.又因为平面过点A与
B,所以必有n?AB.于是,取n=j?AB,
i 而AB={2,7,?4} ,所以 n=0j1k0=?4i?2k,
27?4因此,由平面的点法式方程,得?4(x?1)?0(y?5)?2(z?1)?0,即 2x?z?3?0.
解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 Ax?By?Cz?D?0,
由于平面平行于y轴,所以 B?0,原方程变为Ax?Cz?D?0,又所求平面过点A(1, ?5, 1)与B(3 , 2, ?3),
将A,B的坐标代入上述方程,得??A?C?D?0, 解之得 A?2C, D??3C,代入所设方程,故所求平面方程为
3A?3C?D?0,?2x?z?3?0.
精选
专升本高等数学测试题(答案)
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