关于抛物线焦点弦的弦长公式
在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍 了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：
(1)已知：抛物线的方程为
2
且弦 AB 的倾斜角为? ，求弦 AB 的长。
? 2 px ( p ? 0) ，过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A B 两点，
?
yk(x??解：由题意可设直线 AB 的方程为 ) (? ? ) 将其代入抛物线方程整理得：
4 k 2 x2 ? (4 p k 2 ? 8 p) x ?
p ? 0 ，且 k ? tan ?pk2 2
2
2
设 A,B 两点的坐标为 (
x , y ),(x , y )
1
1
2
2
2
1
则： x ? x
1
2
?
p k
2?2p ，
k
2
xx
2
? 1 2 4
p| AB |?
()?kxx 1 2 ? 4 x x 1 ?
2
2
2p?
(sin ? )
2
时，斜率不存在，sin??1，|AB|=2p.即为通径2
而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的 弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。
当 ? ?
?
(2)已知：抛物线的方程为
x
2
? 2 py ( p ? 0) ，过焦点的弦 AB 交抛物线于 A,B 两点，
直线 AB 倾斜角为? ，求弦 AB 的长。
解：设 A,B 的坐标为(x , y ),(x , y ) ，斜率为 k (k ? tan ? ) ，而焦点坐标为 (0,
故 AB 的方程为 y ?
2
p
2
2
1 1 2 2
2
p )
，
? kx ，将其代入抛物线的方程整理得：
1
2
2 ，
2
x? 2 pkx ? p ? 0, 从而 x ? x ? 2 pk , xx?? p(?)2 pkxx 1 2x? 4 x?弦长为： | AB |? 1 ?
1
2
2
2
1
2
(cos? )
? ? 0, cos? ? 1,| AB |? 2 p ，即为通径。
而y? ?2 px 与（1）的结果一样， x ? ?2 py 与（2）的结果一样，但是（1）与（2）
2
2
的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈 述于下：
（3）已知：抛物线的方程为
y
2
? 2 px ( p ? 0) ，过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A ，B
两点，且弦 AB 与抛物线的对称轴的夹角为? ，求弦 AB 的长。
解：由题意可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? p4 k 2 x2 ? (4 p k 2 ? 8 p) x ?
) (? ? ) 将其代入抛物线方程整理得： 2 2
?
? 0 ，pk2 2
?
若倾斜角 ? ? ，则???,k?tan??tan?；
2
? ,则?????,k?tan??tan(???)。
若倾斜角 ? ?
2
设 A,B 两点的坐标为 (
x , y ),(x , y )
1
1
2
2
k
()? 1 ? k x | AB | ? x 1 x 2 ? 4 x
2 ? 2 p ) ? p (pkk
1 ? ( tan ? ) ?
1
2
2
2
2
1
2
2
2
4
2
则： x ? x
?
p k ? 2 p ，
2
xx 2 ? 1 2 4
p
k4
?
(si n ? )
2 p
2
而 sin ? ? sin ? ,sin(? ? ? ) ? sin ? ，故 | AB |?
(sin ? )
2p
； 2
当 ? ? 而
2
?
y? ?2 px 与（3）的结果一样
时，sin??1，|AB|=2p.即为通径。2
同理：（4）已知：抛物线的方程为x 2 ? 2 py ( p ? 0) ，过焦点的弦 AB 交抛物线于 A,B
两点，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为? ，求弦 AB 的长。
解：设 A,B 的坐标为 ( , ),( , ) ，若倾斜角为? ，斜率为 k，
1
1
2
x yx y
则 k ? tan ? ，而焦点坐标为 (0,
p
2
2
) ，
故 AB 的方程为 y ?
p
2
? kx ，将其代入抛物线的方程整理得：
x? 2 pkx ? p 2
2
? 0, 从而 x ? x ? 2 pk , x
1
2
1
x 2
?? p 2
2 ，
弦长为： | AB |? 1 ?
k
2
2
? 4 x x?
1
)
2
，则??
( x1? x 2
?
(cos ? )
2 p
2
当倾斜角 ? ? ?
??,cos??cos(??)?sin?；2 2
?
? ?
???当倾斜角 ? ? ,则??,cos?cos(??)??sin?2 2 2 2 p
所以 | AB |? 恒成立。
?
(sin ? )
2
当 ? ?
?
时，sin??1，|AB|=2p.即为通径。2
而 x 2 ? ?2 py 与（4）的结果一样。
故只要直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为? ，那么不论抛物线的开口向上，向下，向
左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即| AB |?用，包含了抛物线的四种开一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记。
这个公式 忆，便于应 口形式，
2
(sin ? )
2 p
抛物线焦点弦的弦长公式.
