2024版高考数学二轮复习第二部分专题七数学文化及数学思想第3讲分类讨论、转化与化归思想练习(含解

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（京津鲁琼专用）2024版高考数学二轮复习 第二部分 专题七 数学文化及数学思想 第3讲 分类讨论、转化与化归思想练习（含解析） 第3讲 分类讨论、转化与化归思想

一、分类讨论思想

分类讨论的原则 1。不重不漏 2。标准要统一,层次要分明 3.能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论 分类讨论的常见类型 1.由数学概念而引起的分类讨论 2.由数学运算要求而引起的分类讨论 3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论 4。由图形的不确定性而引起的分类讨论 5.由参数的变化而引起的分类讨论 分类与整合的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略

应用一 由概念、法则、公式引起的分类讨论

[典型例题]

设等比数列｛an｝的公比为q,前n项和Sn>0(n＝1，2,3，…)，则q的取值范围是

________．

【解析】 由｛an｝是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0，当q＝1时，Sn＝na1〉0。 当q≠1时，Sn＝错误!>0， 即错误!〉0(n＝1,2,3,…)， 则有错误!①或错误!②

由①得－1〈q<1，由②得q>1.

故q的取值范围是（－1，0）∪(0，＋∞）． 【答案】 (－1，0）∪(0，＋∞）

错误!

本题易忽略对q＝1的讨论，而直接由错误!〉0，得q的范围,这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝错误!进行讨论．

［对点训练］

1．一条直线过点(5，2），且在x轴，y轴上的截距相等,则这条直线的方程为( ） A．x＋y－7＝0

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（京津鲁琼专用）2024版高考数学二轮复习 第二部分 专题七 数学文化及数学思想 第3讲 分类讨论、转化与化归思想练习（含解析） B．2x－5y＝0

C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0 D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0

解析：选C。设该直线在x轴,y轴上的截距均为a，当a＝0时,直线过原点,此时直线方程为y＝错误!x,即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为错误!＋错误!＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0。

2．若函数f(x）＝a(a>0，a≠1）在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）＝(1－4m）错误!在［0，＋∞）上是增函数,则a＝________．

解析:若a〉1，则a＝4，a＝m，故a＝2，m＝错误!，此时g(x)＝－错误!，为减函数,不11

合题意；若0

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－1

2

2

－1

x答案：错误!

应用二 由参数变化引起的分类讨论

［典型例题]

已知f（x）＝x－ae（a∈R，e为自然对数的底数)． (1)讨论函数f(x）的单调性;

（2）若f(x）≤e对x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 【解】 (1）由题知，f′(x)＝1－ae，

当a≤0时，f′（x)〉0，函数f（x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数; 当a>0时，由f′（x)＝0得x＝－ln a， 若x∈(－∞,－ln a），则f′(x)〉0； 若x∈(－ln a，＋∞)，则f′（x）<0，

所以函数f(x)在(－∞,－ln a）上单调递增,在（－ln a，＋∞）上单调递减． （2)f（x）≤e?a≥错误!－e,

2x2xxxx设g(x）＝错误!－e,则g′(x)＝错误!. 当x<0时,1－e〉0，g′（x）〉0， 所以g（x)在（－∞，0)上单调递增． 当x〉0时，1－e<0，g′(x）〈0， 所以g（x)在（0，＋∞)上单调递减．

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