高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第1.1-1.3节-学案-人教A版(2019)

由天下分享时间：2024/9/22 5:42:20 加入收藏我要投稿点赞

集合核心知识；集合易错题精析

集合核心知识

重点集合的概念、元素与集合的关系，集合的表示方法，集合与集合的关系，集合的运算集合中元素的特征，描述法表示集合，属于与包含之间的区别，集合的运算考试：考试要求 ? 考查题型：选择题、填空题和解答题。 ? 考查难度：小题的难度一般中等偏下，存在个别较难的试题；解答题的难度中等偏上，属于易错题。

元素与集合的关系概念元素的性质难点 a?A或a?A 确定性互异性无序性常用数集的表示表示集合列举法描述法子集包含关系集合间关系相等关系真子集空集? 交集集合的运算并集补集 1.AB?B?A?B 2.AB?A?A?B

备注：为高频重点，为易错点为难点

核心知识点一：集合的概念和表示

概念把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。元素的性（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性质集合表示方法列举法描述法 ② 元素一一列举出来 ②用“{}”括起来 ③元素间用“，”隔开 ①写清楚集合中元素的代号 ②说明该集合中元素的性质； ③所有描述的内容都写在大括号内。一般地，用大写拉丁字母如A、B、C表示集合，用小写拉元素与集合的关系丁字母a、b、c表示集合中的元素，如果a是集合A中的元素就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA。 N为零和正整数组成的集合，即自然数集，N*或N+为正整数常用数集及其记法组成的集合；Z为整数组成的集合；Q为有理数组成的集合，R为实数组成的集合。例题1 已知a∈{1，－1，a2}，则a的值为______________________。答案：∵a∈{1，－1，a2}， ∴a可以等于1，－1，a。

（1）当a=1时，集合则为{1，－1，1}，不符合集合元素的互异性。故a≠1。

（2）同上，a=－1时也不成立。

（3）a=a2时，得a=0或1，a=1不满足，舍去，a=0时集合为{1，－1，0}。综上，a=0。

解析：处理该类问题的关键是对a进行分类讨论，利用元素的互异性解题。总结提升：集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关。因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性。

例题2 判断下列三个集合是否相等。（1）{x|y=x2－1} （2）{y|y=x2－1} （3）{（x，y）|y=x－1}

答案：（1）{x|y=x2－1}表示的是函数自变量的集合，它可以为{x|y=x2－1}={x|x∈R}=R。

（2）{y|y=x2－1}表示的是函数因变量的集合，它可以为{y|y=x2－1}={y|y≥－1}。

（3）{（x，y）|y=x2－1}表示点的集合，这些点在二次函数y=x2－1的图象上。

解析：处理此类问题的关键在于要正确而深刻地理解集合的表示方法。总结提升：正确理解集合的表示方法对以后的学习有极大帮助。特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为{（x，y）|}的形式；对描述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么。

核心知识点二：集合间的关系子集对于两个集合A、B，如果集合A定义中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集符号语言表示方若任意x∈A，有x∈B，则AB。真子集若集合AB，但存在元素x∈B，且xA，称集合A是集合B的真子集若集合AB，但存在元素x∈B，且xA，则AB 2

A为集合B的子集，记作AB或BA。若集合A是集合B的真子集，记法 A不是B的子集时，记作AB或BA。作AB或BA。 ①AA 性质 ②A ③AB，BCAC AB，且BCAC 子集个数空集含n个元素的集合A的子集个数为含n个元素的集合A的真子集个数为－1 不含任何元素的集合，记为。空集是任何集合的子集，用符号语言表示为A；若A非空（即A≠），则有A。核心知识点三：集合的运算： 1. 并集

（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。

（2）符号语言表示：A∪B={x|x∈A，或x∈B}。（3）图形语言（Venn图）表示：。（4）性质：A∪B=B∪A；A∪A=A；A∪=A。

A B A B A (B) A B

2. 交集

（1）自然语言表示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集。

（2）符号语言表示：A∩B={x|x∈A，且x∈B}。（3）图形语言表示（Venn图）：。（4）性质：A∩B=B∩A；A∩A=A；A∩=。

A B A B

A (B) A B 3. 补集

（1）自然语言表示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。

（2）符号语言表示：A={x|x∈U，且xA}。（3）图形语言表示（Venn图）：，阴影部分表示A。（4）性质：（A）∪A=R；（A）∩A=；（A）=A。

（A∪B）=（A）∩（B），（A∩B）=（A）∪（B）。

重要结论：A∩B=AAB；A∪B=BAB；A∩B=AA∪B=B。