最新高教版数学教案——角的概念的推广：象限角的概念

由天下分享时间：2025/1/26 19:09:21 加入收藏我要投稿点赞

角的概念的推广：象限角的概念

教学目标：

1.学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角的方法，掌握象限角的概念. 2.能较准确地写出与任一角终边相同的角的集合. 3.培养学生观察、思考研究问题的能力. 4.向学生渗透数形结合的思想. 教学重点：象限角的概念.

教学难点：把终边相同的角用集合的符号语言正确地表达出来. 教具和教学手段：三角板、教学方法：启发点拨、讲练结合. 教学过程：一、引入新课

上一节课我们了解了角的新的概念，我们今天还要对角进行更进一步的了解。 (板书课题：角的概念的推广--象限角的概念) 二、新课

(三)与角始边终边相同的角

先演示出∠＝30°，教师问：以为始边，为终边的角还有设有其他的角？在同学思考之余，又演示出390°和－330°和750°的角，之后，教师启发同学通过计算得出这两个角与30°的关系，(根据学生的实际情况，还可演示出∠＝－60°的角，让同学找出与－60°角的始边、终边相同的角，并计算它们之间的关系.) 教师可以和大家一道计算：390°＝30°＋360°，－330°＝30°－360°，750°＝30°＋2×360°，….

然后提问：谁能总结出与30°角的始边、终边相同的角与30°的关系？分别用文字和符号语言加以描述，之后，教师又问：这样的角有多少个？怎样把它的全部都写出来？待学生想到用集合来表示这些角后，教师又问集合有几种表示方法？一一列举行吗？性质描述又是怎样的格式？该集合的特征性质是什么？

待以上问题解答完之后，教师可让一名学生到黑板上来写，再予以纠正. {|＝30°＋·360°，}，

在得出这一式子之后，教师问：这集合的元素是什么？它表达出什么内容？教师总结：该集合的元素是角，390°，－330°，750°等都是这一集合的元素，30°也是(此时＝0)，容易看出，所有与30°角始边终边相同的角，连同30°角自己在内，都是该集合的元素.反过来，该集合的任一元素都与30°角始边终边相同.

(教师板书)：所有与角始边、终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合{|＝＋·360°，

}，即任一与角始边、终边相同的角，都可以表示成与整数个周角的和. (四)直角坐标系中的角

今后，我们在讨论角的时候往往借助于数学上的一个重要工具——平面直角坐标系，这是数学中常用的办法，通常是使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴重合，它的终边落在第几象限，就叫做第几象限的

角，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.

如图4所示：∠是第一象限的角，∠是第二象限的角，∠是第四象限的角，∠不属于任何象限。

说明：因为我们今后将在平面直角坐标中讨论角，角的始边都与轴重合，以后，对于“与角始边、终边相同的角”就可直接说成“与角终边相同的角”了. 三、例题讲解

例1 写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出它们是哪个象限的角. (1)45°； (2)135°； (3)240°； (4)330°. 此题不难，可让学生说解题思路，教师板演(1)、(2) 解：(1)与45°角终边相同的角的集合是＝{|＝45°＋·360°，}.

∵45°是第一象限的角，∴集合中的角都是第一象限的角. (2)与135°终边相同的角的集合是＝{|＝135°＋·360°，}.

∵135°是第二象限的角，∴集合中的角都是第二象限的角. (3)、(4)两题可留给学生自己练习.

以上解答，教师在板书时有意识地将课本中的角改为，考虑到课文中的{|＝＋·360°，}中的已知角用表示，由于学生初学此内容，在一定程度上有模仿教材的书写格式的倾向，所以笔者认为例题中选用的字母最好与前文一致. 例2 写出终边在轴上的角的集合.

先请一位同学说说解题思路，然后教师强调：终边在轴上的角有两种情况，分别是终边在轴正半轴上的角和轴负半轴上的角，而终边在轴上的角的集合应是这两个集合的并集. (教师板演)

解：终边在轴正半轴上的一个角为90°，终边在轴负半轴上的一个角为－90°(或270°)，(图5)因此终边在轴的正半轴、负半轴上的角的集合分别是＝{|＝90°＋·360°，}＝ {|＝90°＋2·180°，}，＝{|＝—90°＋·360°，}＝ {|＝90°＋(2—1)·180°，}. ((2－1)若将终边在轴负半轴上的角选为270°，此处应为2＋1) 所以终边在轴上的角的集合为：＝{|＝90°＋2·180°，}∪{|＝90°＋(2—1)·180°，}

＝{|＝90°＋180°的偶数倍}∪{|＝90°＋180°的奇数倍}

＝{|＝90°＋180°的整数倍} ＝{|＝90°＋·180°，} .

在解答完此题后，教师可启发同学用语言表述该集合的几何意义：当取偶数时，该集合中的角的终边落在轴正半轴上；当取奇数时，该集合中的

角的终边落在轴负半轴上，由此周而复始，交替出现呈现周期变化的规律.

例3 在0°～360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判定各是哪个象限的角；

(1)640°； (2)—120°； (3)—955°12′

此题文字略长，应要求同学仔细审题，弄清题意.可请同学说说自己的思路，教师也可启发学生：终边相同的角的代数特征是什么？(彼此相差360°的整数倍.)，怎样在这些角中找到与已知各角终边相同的角，并使它的度数介于0°～360°之间. 教师强调：关键是把已知角变形为＋·360°，的形式，其中0°≤＜360°. (这里有意识地将题目顺序作了一下调整：(2)、(1)、(3)因正角比较容易变形.) 解：(1)∵640°＝280°＋360°，

∴640°的角与280°的角终边相同，它是第四象限的角. (2)∵－120°＝240°－360°，

∴－120°与240°的角终边相同，它是第三象限的角. (3)∵－955°12′＝124°48′－3×360°，

∴－955°12′与124°48′的角终边相同，它是第二象限的角. 建议教师在转化角的过程中，补充如下草式： (2) (1) (3)

另外还可让学生熟记几个常用的360°的整数倍：

1×360°＝360°，2×360°＝720°，3×360°＝1 080°，4×360°＝1 440°… 练习：在直角坐标系中0°～360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判定它们各是哪个象限的角： (1)－45°； (2)760°； (3)－480°. 四、课文小结

1.(本节是概念课，教师应帮助引导学生系统归纳本节的有关概念，理清脉络，可画出本节的知识结构图) 知识结构图：

2.与角始边、终边相同的角的集合为：{|＝＋·360°，}，强调以下几点： (1)是任意整数； (2)是任意角(包括正角，负角，零角)；

(3)与·360°之间用“＋”号连接，—·360°应看成＋(—)·360°； (4)终边相同的角不一定相等，有无数多个，它们相差360°的整数倍. 3.关于象限角的概念，可对几下概念引导学生加以辩别：

(1)“0°～90°间的角”，“第一象限的角”，“锐角”，“小于90°的角”. (2)“第一或第二象限的角”和“终边在轴上方的角”. 五、课外作业

1.问答题：锐角是第一象限的角吗？第一象限的角是否一定为锐角？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

2.作图题：已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的正半轴重合，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角.

(1)420°； (2)－75°； (3)855°； (4)－510°.