平均变化率瞬时变化率

1.1.1平均变化率

二、教学重点、难点

重点：平均变化率的实际意义和数学意义 难点：平均变化率的实际意义和数学意义

三、教学过程

一、问题情境

1、情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载. 时间 日最高气温 3月18日 3.5℃ 4月18日 18.6℃ 4月20日 33.4℃ 观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为： （理解图中A、B、C点的坐标的含义）

T (℃) 30 20 10 A (1, 3.5) 2 0 2 10 20

C (34, 33.4)

B (32, 18.6) 30 34 t(d)

问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面） 问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？ 二、建构数学

1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。

2.一般地,给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率

f(x2)?f(x1)。

x2?x13．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。4。平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。 三、数学运用

例1、 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？

变：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，

乙两人的经营成果？

小结：仅考虑一个变量的变化是不行的。

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器

1

甲中水的体积V(t)?5?2?0.1t （单位：cm）， 计算第一个10s内V的平均变化率。

例3、已知函数f(x)?x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。

五、练习

1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。

W(kg) 11 8.6 6.5 33.5 3

6 9

12 T(月)

2、已知函数f（x）=2x+1，g（x）=—2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f（x）及g（x）的平均变化率。

（发现：y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？）

瞬时变化率与导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率 （二）探究：

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算：0?t?0.5和1?t?2的平均速度v 在0?t?0.5这段时间里，v?

h(0.5)?h(0)?4.05(m/s)；

0.5?02

h(2)?h(1)??8.2(m/s)

2?165探究：计算运动员在0?t?这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49在1?t?2这段时间里，v?⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(65)?h(0)， 49h 65)?h(0)所以v?49?0(s/m)，

65?04965虽然运动员在0?t?这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动

49h(员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授 1．瞬时速度 ot 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反

映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t?2时的瞬时速度是多少？考察t?2附近的情况：

思考：当?t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

从物理的角度看，时间?t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于此时的瞬时速度，因此，运动员在t?2时的瞬时速度是?13.1m/s 为了表述方便，我们用limh(2??t)?h(2)??13.1

?t?0?t表示“当t?2，?t趋近于0时，平均速度v趋近于定值?13.1” 2 导数的概念

（一）则函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

3

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?f?lim ?x?0?x?x我们称它为函数y?f(x)在x?x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x?x，即

0 f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)

?x说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

（2）?x?x?x0，当?x?0时，x?x0，所以f?(x0)?lim（二）导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f?(x0) 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f?(x)或y?，

即: f?(x)?y??lim?x?0f(x)?f(x0)

x?x0?x?0f(x??x)?f(x)

?x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（三）函数f(x)在点x0处的导数f?(x0)、导函数f?(x)、导数 之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数f?(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数

3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f?(x)在x?x0处的函数值，这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。 三．典例分析

2

例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数.

（2）求函数f(x)=?x?x在x??1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，

2原油的温度（单位：C）为f(x)?x?7x?15(0?x?8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬

2时变化率，并说明它们的意义．

注：一般地，f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况． 四．课堂练习

21．质点运动规律为s?t?3，求质点在t?3的瞬时速度为．

2．求曲线y=f(x)=x3导函数．

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