2010年河北省中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分） 1．计算3×(?2) 的结果是
A．5 B．?5 C．6 D．?6 2．如图1，在△ABC中，D是BC延长线上一点，
∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A等于 A．60° B．70° C．80° D．90°
A D
A B
A C C 40°
120° B P Q R
图1 C
D B M 3．下列计算中，正确的是
图2
图3 A．20?0
B．a?a?a2 C．9??3
D．(a3)2?a6
4．如图2，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB = 3， 则□ABCD的周长为
A．6 B．9 C．12 D．15 5．把不等式?2x< 4的解集表示在数轴上，正确的是 -2 0 0 2 A B -2 0 0 2
C D 6．如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是
A．点P B．点Q C．点R D．点M
7．化简a2b2a?b?a?b的结果是 A．a2?b2 B．a?b C．a?b D．1
8．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x张，根
据题意，下面所列方程正确的是 A．x?5(12?x)?48 B．x?5(x?12)?48 C．x?12(x?5)?48 D．5x?(12?x)?48 9．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程为s（km），则s与t的函数图象大致是 s s s s
O O
A t O O B t C t D
t 10．如图4，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则
这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是 A．7 B．8 C．9 D．10
y x = 2
A B
O x
图4 图5 11．如图5，已知抛物线y?x2?bx?c的对称轴为x?2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，
其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为 A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3） 12．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是 向右翻滚90° 逆时针旋转90°
图6-1 图6-2
A．6 B．5 C．3 D．2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上） 13．?5的相反数是 ． 14．如图7，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上， CD = 6，点A对应的数为?1，则点B所对应的数为 ．
A D C C C 3 5 6 0 B A 0 B 图7 ? A 图8
O B A 图10-1 图10-2
B
图9
15．在猜一商品价格的游戏中，参与者事先不知道该商品的价格，主持人要求他从图8的四张卡片中任
意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是360元，那么他一次就能猜中的概率是 ．
16．已知x = 1是一元二次方程x2?mx?n?0的一个根，则 m2?2mn?n2的值为 ．
17．某盏路灯照射的空间可以看成如图9所示的圆锥，它的高AO = 8米，母线AB与底面半径OB的
夹角为?，tan??43，则圆锥的底面积是 平方米（结果保留π）．
18．把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1 S2（填“＞”、“＜”或“=”）． 三、解答题（本大题共8个小题，共78分） 19．（8分）解方程：
12x?1?x?1．
20．（8分）如图11-1，正方形ABCD是一个6 × 6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1．位于AD中点处的光点P按图11-2的程序移动．
（1）请在图11-1中画出光点P经过的路径；
（2）求光点P经过的路径总长（结果保留π）． P 输入点P 绕点A顺时针旋转90° 绕点B顺时针旋转90° 22．（9分）如图13，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数y?m（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点xm（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围． ．．N是否在该函数的图象上； （3）若反比例函数y? A
D x 绕点C顺时针旋转90°
绕点D顺时针旋转90°
输出点 图11-2
B
C 图11-1
21．（9分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现 学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图 表．
乙校成绩扇形统计图 甲校成绩统计表 乙校成绩条形统计图
分 7 分 8 分 9 分 10 人数 数 分 10分 8 8 7分 6 人 11 0 8 72° 4 4 5 数 9分 54° 8分 2 0 78
图12-1
分 9分 10分 分数 图12-2 （1）在图12-1中，“7分”所在扇形的圆心角等于 °． （2）请你将图12-2的统计图补充完整．
（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和 中位数的角度分析哪个学校成绩较好．
（4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选 参赛选手，请你分析，应选哪所学校？
y D A M B N O C E x 图13 23．（10分）观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH ⊥l于点H，并测得OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．
24．（10分）在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°．
（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系； （2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB．求证：AC = BD，AC ⊥ BD；
（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求BD的值． ACM
解决问题
（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；点Q与点O间的最大距离是 分米；
点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米．
（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判 断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l 距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
滑道 Q 滑块 l
H
P 连杆
O
l H （Q）
图14-1
图14-2
P O
图14-3
D 2 O A 1 B
N
图15-1
D M
2 O A
1 C B
N
图15-2
D M
2 O A
1 C B
N
图15-3
25．（12分）如图16，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，?B?90?，AD = 6，BC = 8，AB?33，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止． 设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写
t的取值范围）．
（2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到
最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接明理由．
．．写出t的取值范围；若不能，请说
A D E
B P M Q C 图16
A D
B M C
（备用图）
26．（12分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =?1100x＋150， 成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为 常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳1100x2
元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）； （3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润
的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销
售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的顶点坐标是(?b4ac?b22a,4a)．
2010年河北省中考数学试题参考答案
一、选择题
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 D C D C A B B A C B D B 案 二、填空题
13.5 14.5 15.14 16.1 17.36 π 18. =
三、解答题 19．解：x?1?2(x?1)， x?3．
经检验知，x?3是原方程的解．
20．解： A P D （1）如图1；
【注：若学生作图没用圆规，所画路线光滑且基本准确即给4分】（2）∵4?90π?3B 180?6π， 图1
C ∴点P经过的路径总长为6 π．
21．解：（1）144；
（2）如图2；
乙校成绩条形统计图
人数 （3）甲校的平均分为8.3分，中位数为7分；
8 8 由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲 6 校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，
4 4 5 3 乙校的成绩较好．
2 （4）因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得
0 7 分 8分 9分 10分 分数
10分的有8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校．22．解：（1）设直线图2 DE
的解析式为y?kx?b， ∵点D ，E的坐标为（0，3）、（6，0），∴ ??3?b,?0?6k?b.
?解得 ??k??1, ∴ y??1x?3
??32． ?b.2∵ 点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形， ∴ 点M的纵坐标为2．
又 ∵ 点M在直线y??12x?3上，
∴ 2 = ?12x?3．∴ x = 2．∴ M（2，2）．
（2）∵y?mx（x＞0）经过点M（2，2），∴ m?4．∴y?4x.
又 ∵ 点N在BC边上，B（4，2），∴点N的横坐标为4．
∵ 点N在直线y??12x?3上， ∴ y?1．∴ N（4，1）． ∵ 当x?4时，y =4= 1，∴点N在函数 y?4xx 的图象上． （3）4≤ m ≤8．
23．解：（1）4 5 6；
（2）不对．
∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且42≠32 + 22，即OQ2≠PQ2 + OP2， ∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切． （3）① 3；
②由①知，在⊙O上存在点P，P?到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，如图3．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P?OP．
l
Q? H Q
连结P?P，交OH于点D．
∵PQ，P?Q?均与l垂直，且PQ =P?Q??3， P? D P ∴四边形PQQ?P?是矩形．∴OH⊥PP?，PD =P?D． O 由OP = 2，OD = OH?HD = 1，得∠DOP = 60°． ∴∠POP? = 120°．
图3
∴ 所求最大圆心角的度数为120°．
24．解：（1）AO = BD，AO⊥BD；
（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．
D M
又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE， 2 ∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE． O E A 1 B C 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． N
F
图4
∴∠DEB = 45°．
∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．
（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．
又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC．
D M
2 ∴BEAC?BOAO．
O E 又∵OB = kAO，
A 1 C
B
由（2）的方法易得 BE = BD．∴BDAC?k．
N
图5
25．解：（1）y = 2t；（2）当BP = 1时，有两种情形：
①如图6，若点P从点M向点B运动，有 MB = BC= 4，MP = MQ = 3，
A E 12当a = 32.5时，在国外和国内销售都一样；
当32.5＜ a ≤40时，选择在国内销售．
∴PQ = 6．连接EM，
D ∵△EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴EM?33． ∵AB = 33，∴点E在AD上．
B P M 图6
Q C ∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面
积为93．
②若点P从点B向点M运动，由题意得 t?5．
PQ = BM + MQ?BP = 8，PC = 7．设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的
E A H F G D 延长线交于点G，过点P作PH⊥AD于点H，则 HP = 33，AH = 1．在Rt△HPF中，∠HPF = 30°， ∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2， ∴点G与点D重合，如图7．此时△EPQ与梯形ABCD
B P M 图7
C Q 的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为
2723．
（3）能．4≤t≤5．
26．解：（1）140 57500；
（2）w内 = x（y -20）- 62500 = ?w外 = ?（3）当x = ?1x2＋130 x?62500， 1001x2＋（150?a）x． 10013012?(?)100= 6500时，w内最大；分
124??()??(62500)?1300?(150?a)100由题意得 ， ?114??()4??()1001002解得a1 = 30，a2 = 270（不合题意，舍去）．所以 a = 30．
5000a?500000（4）当x = 5000时，w内 = 337500， w外 =?．
若w内 ＜ w外，则a＜32.5； 若w内 = w外，则a = 32.5； 若w内 ＞ w外，则a＞32.5．
所以，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外销售；
2010年河北中考数学试卷及答案
