考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。
分析：根据已知作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形．再利用全等三角形的判定得出△ABP≌△PEF，进而求出PA=PF即可．
解答：证明：作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形． 令AB=Y，BP=X，CE=Z，可得PC=Y﹣X． tan∠BAP=tan∠EPF==
，可得YZ=XY﹣X+XZ，
2
即Z（Y﹣X）=X（Y﹣X），即得X=Z，得出△ABP≌△PEF， ∴PA=PF．
点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出△ABP≌△PEF是解题关键．
12．如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB=DC，BC=AD．
考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质。
分析：作出辅助线，利用射影定理以及四点共圆的性质得出EFOQ四点共圆，BECQ四点共圆，进而得出四边形ABCD是平行四边形，从而得出答案即可． 解答：证明：作CQ⊥PD于Q，连接EO，EQ，EC，OF，QF，CF，
2
所以PC=PQ?PO（射影定理），
2
又PC=PE?PF，
所以EFOQ四点共圆， ∠EQF=∠EOF=2∠BAD，
又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF，
而CQ⊥PD，所以∠EQC=∠FQC，因为∠AEC=∠PQC=90°， 故B、E、C、Q四点共圆，
所以∠EBC=∠EQC=∠EQF=∠EOF=∠BAD，
∴CB∥AD，
所以BO=DO，即四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，BC=AD．
点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及射影定理，根据已知得出EFOQ四点共圆，BECQ四点共圆是解题关键．
13．已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5． 求：∠APB的度数．（初二）
考点：等边三角形的性质；直角三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质。 专题：计算题。
分析：先把△ABP旋转60°得到△BCQ，连接PQ，根据旋转性质可知△BCQ≌△BAP，由于∠PBQ=60°，BP=BQ，易知△BPQ是等边三角形，从而有PQ=PB=4，而PC=5，PQ=3，根据勾股定理逆定理易证△PQC是直角三角形，即∠PQC=90°，进而可求∠APB． 解答：解：顺时针旋转△ABP60°得到△BCQ，连接PQ， ∵∠PBQ=60°，BP=BQ， ∴△BPQ是等边三角形， ∴PQ=PB=4， 而PC=5，PQ=4，
222
在△PQC中，PQ+QC=PC， ∴△PQC是直角三角形， ∴∠BQC=60°+90°=150°， ∴∠APB=150°．
点评：本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质，解题的关键是考虑把PA、PB、PC放在一个三角形中，而旋转恰好能实现这一目标．
14．设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA． 求证：∠PAB=∠PCB．
考点：四点共圆；平行四边形的性质。
专题：证明题。
分析：根据已知作出P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DP，BE∥PC，进而得出AEBP共圆，即可得出答案．
解答：证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DP，BE∥PC． ∵AE∥DP，BE∥PC， ∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，
可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）． 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP， ∴∠PAB=∠PCB．
点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键．
15．设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB?CD+AD?BC=AC?BD．（初三）
考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理。 分析：在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，即得△BEC∽△ADC，于是可得AD?BC=BE?AC，又∵∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得
=
，即AB?CD=DE?AC，两式结合
即可得到AB?CD+AD?BC=AC?BD．
解答：证明：在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，即得△BEC∽△ADC， 可得：
=
，即AD?BC=BE?AC，①
又∵∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC， 即得
=
，即AB?CD=DE?AC，②
由①+②可得：AB?CD+AD?BC=AC（BE+DE）=AC?BD，得证．
点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质和圆周角的知识点，解答本题的关键是在BD上取一点E，使∠BCE=∠ACD，此题难度一般． 16．平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF．求证：∠DPA=∠DPC．（初二）
考点：平行四边形的性质；角平分线的性质。 专题：证明题。
分析：过D作DQ⊥AE，DG⊥CF，由S△ADE=
=S△DFC，可得：
=
，
又∵AE=FC，可得DQ=DG，可得∠DPA=∠DPC（角平分线逆定理）．
解答：证明：过D作DQ⊥AE，DG⊥CF，并连接DF和DE，如右图所示： 则S△ADE=∴
=
，
=S△DFC，
又∵AE=FC， ∴DQ=DG，
∴PD为∠APC的角平分线，
∴∠DPA=∠DPC（角平分线逆定理）．
点评：本题考查平行四边形和角平分线的性质，有一定难度，解题关键是准确作出辅助线，利用角平分线的性质进行证明．
17．设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：≤L＜2．
考点：等边三角形的性质；三角形三边关系；旋转的性质。 专题：证明题。
分析：只要AP，PE，EF在一条直线上，可得最小L=；过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F，可得AD＞AP①，BP+DP＞BP②，PF+FC＞PC③，DF=AF④，从而得出结论．
解答：证明：（1）顺时针旋转△BPC60°，可得△PBE为等边三角形．
即得要使PA+PB+PC=AP++PE+EF最小，只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小L=；
（2）过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F． 由于∠APD＞∠AFP=∠ADP， 推出AD＞AP ① 又∵BP+DP＞BP ② 和PF+FC＞PC ③ 又∵DF=AF ④ 由①②③④可得：最大L＜2； 由（1）和（2）即得：≤L＜2．
点评：综合考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形三边关系，分别找到最小和最大L的求法是解题的关键．
18．已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值．
考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质。
分析：顺时针旋转△BPC60度，可得△PBE为等边三角形，若PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，求出AF的值即可．
解答：解：顺时针旋转△BPC60度，可得△PBE为等边三角形．
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF． 既得AF=
=
初中经典几何题型及思想方法
