∵∠BAC=60°， ∴∠BOC=120°， ∴∠BOM=60°， ∴∠OBM=30°，
∴OB=2OM=AH=AO， 即AH=AO．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、垂径定理、含30度角的直角三角形性质、平行四边形的性质和判定、三角形的外接圆与外心、三角形的内角和定理等知识点，题目综合性较强，有一定的难度，但题型较好，难点是如何作辅助线．
6．设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q． 求证：AP=AQ．（初二）
考点：圆周角定理；垂线；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；轴对称的性质。 专题：证明题。
分析：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，根据轴对称和平行线性质推出
∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA，求出∠FCQ=∠FAQ，推出FCAQ四点共圆，推出∠PEA=∠QFA，根据ASA推出△PEA和△QFA全等即可． 解答：证明：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC， ∵OA⊥MN，EF⊥OA，
则有∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA， ∵∠PAF=∠AFE=∠AEF=180﹣∠FCD， ∵∠PAF=180﹣∠FAQ， ∴∠FCD=∠FAQ， ∴FCAQ四点共圆，
∠AFQ=∠ACQ=∠BED， 在△EPA和△FQA中
，
∴△EPA≌△FQA， ∴AP=AQ．
点评：本题综合考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，轴对称的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂线等知识点，解此题的关键是求出∠AEP=∠AFQ，题型较好，有一定的难度，通过做题培养了学生分析问题的能力，符合学生的思维规律，证两线段相等，一般考虑证所在的两三角形全等．
7．如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q． 求证：AP=AQ．（初二）
考点：四点共圆；全等三角形的判定与性质。 分析：作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ，证明△ADF≌△ABG，所以∠AFC=∠AGE，再利用圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角，证得∠AOP=∠AOQ，进而得到AP=AQ．
解答：证明：作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ． 由于
，
∴△ADF≌△ABG， ∴∠AFC=∠AGE，
∵四边形PFOA与四边形QGOA四点共圆， ∴∠AFC=∠AOP；∠AGE=∠AOQ， ∴∠AOP=∠AOQ， ∴AP=AQ．
点评：本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的性质，以及圆的内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形．
8．如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDC和CBFG，点
P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．
考点：梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。
分析：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ=（ER+FS），易证Rt△AER≌Rt△CAT，则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证．
解答：解：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ER∥PQ∥FS， ∵P是EF的中点，∴Q为RS的中点， ∴PQ为梯形EFSR的中位线， ∴PQ=（ER+FS），
∵AE=AC（正方形的边长相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°， ∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS）， 同理Rt△BFS≌Rt△CBT， ∴ER=AT，FS=BT， ∴ER+FS=AT+BT=AB， ∴PQ=AB．
点评：此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键．
9．如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE=AC，AE与CD相交于F． 求证：CE=CF．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：把△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，从而可得B、G、D三点在同一条直线上，然后可以证明△AGB与△CGB全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，所以△AGC为等边三角形，根据等边三角形的性质可以推出∠CEF=∠CFE=75°，从而得解． 解答：证明：如图所示，顺时针旋转△ADE90°得到△ABG，连接CG． ∵∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°， ∴B，G，D在一条直线上，
∴∠ABG=∠CBG=180°﹣45°=135°， 在△AGB与△CGB中，
，
∴△AGB≌△CGB（SAS）， ∴AG=AC=GC=AE，
∴△AGC为等边三角形，
∵AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直）， ∴∠AGB=30°， ∴∠EAC=30°，
∴∠AEC=30°+45°=75°，
又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°， ∴CE=CF．
点评：本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定，以及旋转变换的性质，根据旋转变换构造出图形是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE=CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE=AF．（初二）
考点：正方形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的判定。 专题：计算题。
分析：连接BD，作CH⊥DE于H，根据正方形的性质求出正方形DGCH，求出2CH=CE，求出∠CEH=30°，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出∠AEC=∠CAE=15°，求出∠F的度数即可．
解答：证明：连接BD，作CH⊥DE于H， ∵正方形ABCD，
∴∠DGC=90°，GC=DG， ∵AC∥DF，CH⊥DF，
∴∠DHC=∠GCH=∠DGC=90°， ∴四边形CGDH是正方形． 由AC=CE=2GC=2CH， ∴∠CEH=30°，
∴∠CAE=∠CEA=∠AED=15°， 又∠FAE=90°+45°+15°=150°， ∴∠F=180°﹣150°﹣15°=15°， ∴∠F=∠AEF， ∴AE=AF．
点评：本题综合考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，正方形的性质和判定等知识点，此题综合性较强，但难度适中．
11．设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA=PF．（初二）
初中经典几何题型及思想方法
