20．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB=80°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA=30°，∠EBA=20°，求∠BED的度数．
初中几何经典题参考答案与试题解析
一、解答题（共20小题，满分0分）
1．已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD=GF．（初二）
考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理。
分析：首先根据四点共圆的性质得出GOFE四点共圆，进而求出△GHF∽△OGE，再利用GH∥CD，得出
=
=
，即可求出答案．
解答：证明：作GH⊥AB，连接EO． ∵EF⊥AB，EG⊥CO， ∴∠EFO=∠EGO=90°， ∴G、O、F、E四点共圆， 所以∠GFH=∠OEG， 又∵∠GHF=∠EGO， ∴△GHF∽△OGE， ∵CD⊥AB，GH⊥AB， ∵GH∥CD， ∴
=
=
，
又∵CO=EO， ∴CD=GF．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及其性质和四点共圆的性质，根据已知得出GOFE四点共圆是解题关键． 2．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。 专题：证明题。
分析：在正方形内做△DGC与△ADP全等，根据全等三角形的性质求出△PDG为等边，三角形，根据SAS证出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可．
解答：证明：在正方形内做△DGC与△ADP全等， ∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，
∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°，∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°， ∴△PDG为等边，三角形， ∴DP=DG=PG，
∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC， 在△DGC△PGC中
，
∴△DGC≌△PGC，
∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°， 同理PB=AB=DC=PC，
∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°， ∴△PBC是正三角形．
点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求．
3．如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．
求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。
分析：连接BC1和AB1分别找其中点F，E，连接C2F与A2E并延长相交于Q点，根据三角形的中位线定理可得A2E=FB2，EB2=FC1，然后证明得到∠B2FC2=∠A2EB2，然后利用边角边定理证明得到△B2FC2与△A2EB2全等，根据全等三角形对应边相等可得A2B2=B2C2，再根据角的关系推出得到∠A2B2 C2=90°，从而得到A2B2与B2C2垂直且相等，同理可得其它边也垂直且相等，所以四边形A2B2C2D2是正方形．
解答：证明：如图，连接BC1和AB1分别找其中点F，E．连接C2F与A2E并延长相交于Q点，
连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点， 由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC1，
∵∠GFQ+∠Q=90°和∠GEB2+∠Q=90°， ∴所以∠GEB2=∠GFQ， ∴∠B2FC2=∠A2EB2， 可得△B2FC2≌△A2EB2， 所以A2B2=B2C2，
又∠HB2C2+∠HC2B2=90°和∠B2C2Q=∠EB2A2， 从而可得∠A2B2 C2=90°， 同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形． 点评：本题主要考查了正方形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
4．已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN=∠F．
考点：三角形中位线定理。 专题：证明题。
分析：连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MG∥BC，且GM=BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，根据平行线性质可得：∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN从而得出∠DEN=∠F．
解答：证明：连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG． ∵N是CD的中点，且NG∥AD， ∴NG=AD，G是AC的中点， 又∴M是AB的中点， ∴MG∥BC，且MG=BC． ∵AD=BC， ∴NG=GM，
△GNM为等腰三角形， ∴∠GNM=∠GMN， ∵GM∥BF， ∴∠GMF=∠F， ∵GN∥AD，
∴∠GNM=∠DEN， ∴∠DEN=∠F．
点评：此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明△GNM为等腰三角形．
5．已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH=2OM；
（2）若∠BAC=60°，求证：AH=AO．（初二）
考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理。 专题：证明题。 分析：（1）延长AD到F连BF，做OG⊥AF，求出平行四边形OGDM，求出OM=GD，根据等腰三角形的性质和判定、垂径定理求出HD=DF，代入求出即可；
（2）根据圆周角定理求出∠BOM，根据含30度角的直角三角形性质求出OB=2OM即可． 解答：证明：（1）延长AD与⊙O交于点F，连BF，作OG⊥AF于G， ∵OM⊥BC，AD⊥BC，OG⊥AF， ∴∠OMD=∠ADB=∠OGD=90°， ∴四边形OGDM是平行四边形， ∴OM=GD，
∵∠ADC=∠BDA=∠AEB=90°， ∴∠F=∠ACB=∠BHD， ∴BH=BF， ∵AD⊥BC， ∴HD=DF，
∵OG⊥AF，OG过圆心O， ∴AG=GF，
∴AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2（GH+HD）=2OM， 即AH=2OM．
（2）证明：连接OB，OC，
初中经典几何题型及思想方法
