三轮压轴专题培优卷：三角形综合
1．如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD为斜边BC上的高线． （1）求证：AD2＝BD?CD；
（2）如图2，过A分别作∠BAD，∠DAC的角平分线，交BC于E，M两点，过E作AE的垂线，交AM于F． ①当tanC＝时，求
的值；
②如图3，过C作AF的垂线CG，过G点作GN∥AD交AC于M点，连接MN．若∠EAD＝15°，
AB＝1，直接写出MN的长度．
2．如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN． （1）当∠BAM＝ °时，AB＝2BM；
（2）请添加一个条件： ，使得△ABC为等边三角形； ①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC；
②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F． （1）求cosA的值；
（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；
（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：
BE的值；如果变化，请说明理由．
4．如图，射线AN上有一点B，AB＝5，tan∠MAN＝，点C从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AN运动，过点C作CD⊥AN交射线AM于点D，在射线CD上取点F，使得
CF＝CB，连结AF．设点C的运动时间是t（秒）（t＞0）．
（1）当点C在点B右侧时，求AD、DF的长．（用含t的代数式表示） （2）连结BD，设△BCD的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式． （3）当△AFD是轴对称图形时，直接写出t的值．
5．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题． 数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，点E是正△ABC边AC上一点以BE为边做正△BDE，连接CD．探究线段AE与CD的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自已的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠ABE与∠DBC相等．”
小伟：“通过全等三角形证明，再经过进一步推理，可以得到线段BC平分∠ACD．” …
老师：“保留原题条件，连接AD，F是AB的延长线上一点，AD＝DF（如图2），如果BD＝BF，可以求出CE、CB、EB三条线段之间的数量关系．”
（1）求证：∠ABE＝∠DBC； （2）求证：线段BC平分∠ACD；
（3）探究CE、CB、EB三条线段之间的数量关系，并加以证明．
6．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE． （1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；
（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．
2020年九年级下学期数学中考三轮压轴专题培优卷：三角形综合
