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高考数学一轮复习第四章导数及其应用热点探究训练2函数导数与不等式

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第四章 导数及其应用 热点探究训练2 函数、导数与不等式

3x+ax1.设函数f(x)=(a∈R). xe

(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围. 【导学号:62172116】 [解] (1)对f(x)求导得f′(x)= 6x+a-3x+

2

2

e-3x+axe

x2

e6-ax+a. xe

3分

x2x=

因为f(x)在x=0处取得极值,所以f′(0)=0,即a=0.

3x-3x+6x33

当a=0时,f(x)=x,f′(x)=,故f(1)=,f′(1)=,从而f(x)在点xeeee33

(1,f(1))处的切线方程为y-=(x-1),化简得3x-ey=0.

ee

-3x+

(2)由(1)知f′(x)=

2

2

2

2

7分

6-ax+a, xe

令g(x)=-3x+(6-a)x+a,

6-a-a+366-a+a+36

由g(x)=0解得x1=,x2=. 66当x0,即f′(x)>0,故f(x)为增函数; 当x>x2时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数.11分

6-a+a+369

由f(x)在[3,+∞)上为减函数,知x2=≤3,解得a≥-.故a的取值

62

22

2

9分

?9?范围为?-,+∞?.

?2?

x 14分

e?2?2.(2017·苏州模拟)设函数f(x)=2-k?+ln x?(k为常数,e=2.718 28…是自然对

x?x?

数的底数).

(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围. [解] (1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞).

x2ex-2xex?21?f′(x)=-k?-2+?

x4?xx?

xxex-2exkx-2x-2e-kx=-=.

x3x2x3

由k≤0可得e-kx>0,

所以当x∈(0,2)时,f′(x)<0,函数y=f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数y=f(x)单调递增.

所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞). (2)由(1)知,k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减, 故f(x)在(0,2)内不存在极值点;

当k>0时,设函数g(x)=e-kx,x∈[0,+∞). 因为g′(x)=e-k=e-e当0

当x∈(0,2)时,g′(x)=e-k>0,y=g(x)单调递增, 故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点; 当k>1时,

得x∈(0,ln k)时,g′(x)<0,函数y=g(x)单调递减,

xxxln kx6分

x,

x∈(ln k,+∞)时,g′(x)>0,函数y=g(x)单调递增.

所以函数y=g(x)的最小值为g(ln k)=k(1-ln k). 函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,

g0>0,

??gln k<0,

当且仅当?g2>0,

??0

xe

解得e

2

2

13分

?e?综上所述,函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围为?e,?. ?2?

x2

2

14分

3.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=(x-2)e+a(x-1). (1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

[解] (1)f′(x)=(x-1)e+2a(x-1)=(x-1)(e+2a). (ⅰ)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.

所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. (ⅱ)设a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a). ex①若a=-,则f′(x)=(x-1)(e-e),

2

3分

x1分

所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. e

②若a>-,则ln(-2a)<1,

2

故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f′(x)>0; 当x∈(ln(-2a),1)时,f′(x)<0.

所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.

e

③若a<-,则ln(-2a)>1,

2

故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0; 当x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0.

所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(1,ln(-2a))上单调递减.

7分

5分

(2)(ⅰ)设a>0,则由(1)知,f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.又

aa?23?2

f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln,则f(b)>(b-2)+a(b-1)=a?b-b?>

2

2

?2?

0,所以f(x)有两个零点.

x9分

(ⅱ)设a=0,则f(x)=(x-2)e,所以f(x)只有一个零点.

e

(ⅲ)设a<0,若a≥-,则由(1)知,f(x)在(1,+∞)上单调递增.又当x≤1时f(x)

2e

<0,故f(x)不存在两个零点;若a<-,则由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,

2在(ln(-2a),+∞)上单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.

综上,a的取值范围为(0,+∞).

14分

4.(2017·盐城模拟)已知函数f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2]函数g(x)=x+x?f′

3

2

?

?

mx+?在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;

2?

?

ln 2ln 3ln 4ln n1

(3)求证:×××…×<(n≥2,n∈N+). 【导学号:62172117】

234nn[解] (1)f′(x)=

a1-x(x>0). x当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞); 当a<0时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),减区间为(0,1]; 当a=0时,f(x)不是单调函数.

4分

a2x-2

(2)由f′(2)=-=1得a=-2,∴f′(x)=.

2x??23

∴g(x)=x+?+2?x-2x,

?2?

∴g′(x)=3x+(m+4)x-2.

∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且g′(0)=-2, ∴?

?g′???g′

2

mt<0,

3>0.

g′1<0,??

由题意知:对于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,所以有:?g′2<0,

??g′3>0,

37

∴-

3

8分

(3)证明:令a=-1,此时f(x)=-ln x+x-3,所以f(1)=-2,

由(1)知f(x)=-ln x+x-3在(1,+∞)上单调递增,∴当x∈(1,+∞)时f(x)>f(1),即-ln x+x-1>0,∴ln x

ln nn-1则有0

ln 2ln 3ln 4ln n123n-11

×××<×××…×=(n≥2,n∈N+). 234n234nn16分

高考数学一轮复习第四章导数及其应用热点探究训练2函数导数与不等式

第四章导数及其应用热点探究训练2函数、导数与不等式3x+ax1.设函数f(x)=(a∈R).xe(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.【导学号:62172116】[解](1)对f(x)求导得f′(x)=6x
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