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例14：把一个容器内的空气抽出一些，压强降为p ，容器上有一小孔，上有塞子，现把塞子拔掉，如图3—13所示。问空气最初以多大初速度冲进容器？（外界空气压强为p0 、密度为ρ）
解析：该题由于不知开始时进入容器内分有多少，不知它们在容器外如何分布，也不知空气分子进入容器后压强如何变化，
使我们难以找到解题途径。注意到题目中“最初”二字，可以这样考虑：设小孔的面积为S ，取开始时位于小孔外一薄层气体为研究对象，令薄层厚度为ΔL ，因ΔL很小，所以其质量Δm进入容器过程中，不改变容器压强，故此薄层所受外力是恒力，该问题就可以解决了。
由以上分析，得：F = (p0－p)S ① 对进入的Δm气体，由动能定理得：F?ΔL =Δmv2 ② 而 Δm = ρSΔL ③ 联立①、②、③式可得：最初中进容器的空气速度：v =例15：电量Q均匀分布在半径为R的圆环上（如图3—14所示），求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度。
解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的
电场，故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性求解。选电荷元Δq = RΔθ它在P点产生的电场的场强的x分量为：
ΔEx = k
?qR??Qcosα = k?r22?R(R2?x2)122(p0?p) ? Q，2?RxR2?x2 kQx2?(R2?x2)3kQx(R2?x2)3根据对称性：E = ΣΔEx =kQx2?(R2?x2)3Σθ =?2π =
由此可见，此带电圆环在轴线P点产生的场强大小相当于带
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电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向。
例16：如图3—15所示，一质量均匀分布的细圆环，其半径为R ，质量为m 。令此环均匀带正电，总电量为Q 。现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上，并处于磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向竖直向下。当此环绕通过其中心的竖直轴以匀角速度ω沿图示方向旋转时，环中的张力等于多少？（设圆环的带电量不减少，不考虑环上电荷之间的作用）
解析：当环静止时，因环上没有电流，在磁场中不受力，则环中也就没有因磁场力引起的张力。当环匀速转动时，环上电荷也随环一起转动，形成电流，电流在磁场中受力导致环中存在张力，显然此张力一定与电流在磁场中受到的安培力有关。由题意可知环上各点所受安培力方向均不同，张力方向也不同，因而只能在环上取一小段作为研究对象，从而求出环中张力的大小。在圆环上取ΔL = RΔθ圆弧元，受力情况如图3—15—甲所示。因转动角速度ω而形成的电流：I =
Q?R?，电流元IΔL所受的安培力：ΔF = IΔLB =QBΔθ 2?2?圆环法线方向合力为圆弧元做匀速圆周运动所需的向心力，故： 2Tsin
??－ΔF = Δmω2R 2????≈，故有： 22
当Δθ很小时，sinTΔθ－
R?QBΔθ = Δmω2R 2?mR?QBm?2R∵Δm =Δθ ，∴TΔθ－Δθ =Δθ
2?2?2?解得圆环中张力为：T =
R?(QB + mω) 2?例17：如图3—16所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L ，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于
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导轨平面。现给金属杆一个水平向右的初速度v0 ，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？
解析：水平地从a向b看，杆在运动过程中的受力分析如图3—16—甲所示，这是一个典型的在变力作用下求位移的题，用我们已学过的知识好像无法解决，其实只要采用的方法得当仍然可以求解。
设杆在减速中的某一时刻速度为v ，取一极短时间Δt ，发生了一段极小的位移Δx ，在Δt时间内，磁通量的变化为：
Δφ = BLΔx ，I =
???BL?x== RR?tR?t
B2L2?x金属杆受到安培力为：F安 = BIL =
R?t由于时间极短，可以认为F安为恒力，选向右为正方向，在Δt时间内，安培力F安的冲量为：
B2L2?xΔI =－F安Δt =－
R对所有的位移求和，可得安培力的总冲量为：
B2L2?xB2L2I = Σ (－) =－x ①
RR其中x为杆运动的最大距离，对金属杆用动量定理可得： I = 0－mv0 ② 由①、②两式得：x =
mv0R B2L2例18：如图3—17所示，电源的电动热为E ，电容器的电容为C ，S是单刀双掷开关，MN 、PQ是两根位于同一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计，两导轨间距为L ，导轨处在磁感
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应强度为B的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向。L1和L2是两根横放在导轨上的导体小棒，质量分别为m1和m2 ，且m1＜m2 。它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻相同，开始时两根小棒均静止在导轨上。现将开关S先合向1 ，然后合向2 。求：
（1）两根小棒最终速度的大小；
（2）在整个过程中的焦耳热损耗。（当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可忽略不计）
解析：当开关S先合上1时，电源给电容器充电，当开关S再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速度最后均达到最大。（1）设两小棒最终的速度的大小为v ，则分别为L1 、L2为研究对象得：
FiΔti = m1v1?－m1v1 ，有：ΣFi1Δti1 = m1v ① 同理得：ΣFi2Δti2 = m2v ② 由①、②得：ΣFi1Δti1 + ΣFi2Δti2 = (m1 + m2)v
又因为 Fi1 = Bli1 ，Fi1 = Bli1 ，Δti1 =Δti2 ，i1 + i2 = i
所以：ΣBLi1Δti1 + ΣBLi2Δti2 = BLΣ (i1 + i2) Δti = BLΣiΔti = BL(Q－q) = (m1 + m2)v 而Q = CE ，q = CU′= CBLv 所以解得小棒的最终速度：v =
BLCE
(m1?m2)?CB2L2
11q212（2）因为总能量守恒，所以：CE =?+( m1 + m2)v2 + Q热 22C211q212即产生的热量：Q热 =CE－?－( m1 + m2)v2
22C2 =CE2－
12111?(CBLv)2－( m1 + m2)v2 2C2.
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=CE2－［CB2L2－(m1 + m2)］(m1?m2)CE2 =
2(m1?m2?B2L2C)1212BLCE
(m1?m2)?CB2L2针对训练
1．某地强风的风速为v ，设空气的密度为ρ ，如果将通过横截面积为S的风的动能全部转化为电能，则其电功率为多少？
2．如图3—19所示，山高为H ，山顶A和水平面上B点
的水平距离为s 。现在修一条冰道ACB ，其中AC为斜面，冰道光滑，物体从A点由静止释放，用最短时间经C到B ，不计过C点的能量损失。问AC和水平方向的夹角θ多大？最短时间为多少？
3．如图3—21所示，在绳的C端以速度v匀速收绳从而拉动低处的物体M水平前进，当绳AO段也水平恰成α角时，物体M的速度多大？
4．如图3—22所示，质量相等的两个小球A和B通过轻绳绕过两个光滑的定滑轮带动C 球上升，某时刻连接C球的两绳的夹角为θ ，设A 、B两球此时下落的速度为v ，则C球上升的速度多大？
5．质量为M的平板小车在光滑的水平面上以v0向左匀速运动，一质量为m的小球从高h处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h 。设M?m ，碰撞弹力N?g ，球与车之间的动摩擦因数为μ ，则小球弹起后的水平速度可能是（ ）
A、2gh B、0
C、2μ2gh D、v0
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中学物理解题思维之3.微元法
