河北省衡水中学2014届高三内部模拟测试(一)数学试题
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的,选出正确选项填在答题卡相应位置.
1、已知i是虚数单位,m和n都是实数,且m(1?i)?11?ni,则(
A.i
B.?i
C.1
m?ni2009)等于( ) m?niD.-1
2、若函 数y?f(x)的图象和y?sin(x?A.cos(x??4)的图象关于点P(?4 表 达 式 是 ,0)对称,则f(x)的
?) B.?cos(x?) C.?cos(x?) D.cos(x?)
44441的最小125???3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<整数n是 ( )
A.5
B.6
C.7
D.8
4、阅读右面的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( ) A.
1321813B. C. D. 2113138
5、一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正
三角形,则这个几何体的外接球的表面积为 ( )
A.23?
B.
8? 316? C.43 D.
3?x?0?6、.设点P(x,y)满足条件?y?0,点Q(a,b)满足OP?OQ?1恒成立,其中O是原点,a?0,b?0,
?y?2x?2?则Q点的轨迹所围成图形的面积是( )
1 B.1 C.2 D.4 2uuuruuur1uuur。7、已知在?ABC中AB?3,?A?60,?A的平分线AD交边BC于点D,且AD??AC?AB(??R),
6A.
则AD的长为( )
(A)
3 (B)3 (C)1 (D)2 28.如图的倒三角形数阵满足:(1)第1行的,n个数,分别
1
是1,3,5,…,2n?1;(2)从第二行起,各行中的每 一个数都等于它肩上的两数之和;(3)数阵共有n行.问: 当n?2012时,第32行的第17个数是( )
A.2 B.236?2012 C.2 D. 2
9.如果关于x的一元二次方程x2?2?a?3?x?b2?9?0中,a、b分别是两次投掷骰子所得的点数,则该二次方程有两个正根的概率P?( ) A.
37363211113 B. C. D.189618
10.设直线l与球O有且只有一个公共点P,从直线l出发的两个半平面?,?截球O的两个截面圆的半径分别为1和3,二面角??l??的平面角为
5?,则球O的表面积为( ) 6A.4? B.16? C.28? D.112?
x2y20?的一点,F1,11、动点P为椭圆2?2?1?a?b?0?上异于椭圆顶点??a,F2为椭圆的两个焦
ab点,动圆C与线段F1P,F1F2的延长线及线段PF2相切,则圆心C的轨迹为除去坐标轴上的点的( ) A.一条直线 B.双曲线右支 C.抛物线 D.椭圆
log(x?1),x?[0,1)??1212、定义在R上的奇函数f(x),当x?0时,f(x)??,则关于x的函数 ??1?|x?3|,x?[1,??)F(x)?f(x)?a(0?a?1)的所有零点之和为( )
A.2?1 B.1?2 C. 2二、填空题
13.已知(2x?xlgx8aa?a?1 D.1?2?a
)的展开式中,二项式系数最大的项的值等于1120,则实数x的值为 .
1214. 用max{a,b}表示a,b两个数中的最大数,设f(x)?max{x,x}(x?),那么由函数y?f(x)的
41图象、x轴、直线x?和直线x?2所围成的封闭图形的面积是 .
415. 已知
xa22?y2b2?1(a?b?0),M,N是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上任意一点,且直线PM、PN的斜率
分别为k1,k2(k1 k2≠0),若k1?k2的最小值为1,则椭圆的离心率为 。 16.已知(x?215x5)的展开式中的常数项为T,f(x)是以T为周期的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)?x,3若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)?kx?k有4个零点,则实数k的取值范围是 .
2
三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分12分)△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列.
2
(I)若sinB= sinAsinC,试判断△ABC的形状; (Ⅱ)若△ABC为钝角三角形,且a>c,试求sin2
18、(本小题满分12分)在平面xoy内,不等式x2CAA1?3sincos?的取值范围 2222?x?2y?0不等式组??y2?4确定的平面区域为U,
?x?3y?0确定的平面区域为V.
(Ⅰ)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域U任取3个整点,求这些整点中恰有2个整点在区........域V的概率;
(Ⅱ)在区域U每次任取1个点,连续取3次,得到3个点,记这3个点在区域V的个数为X,求X的...
分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图,D,E分别是正三棱柱ABC?A1B1C1的棱AA1、B1C1的中点,且棱AA1?8,AB?4. (Ⅰ)求证:A1E//平面BDC1;
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点M,使二面角M?BC1?B1的大小为60o,若存在,求AM的长,若不存在,说明理由。
20.已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为
的椭圆过点(
,
).
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围.
3
21、(本小题满分12分)设函数f(x)?lnx? (1)当a?b?12ax?bx. 21时,求函数f(x)的最大值; 21a(2)令F(x)?f(x)?ax2?bx?,(0?x?3)
2x1其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤恒成立,求实数a的取值范围;
22(3)当a?0,b??1,方程2mf(x)?x有唯一实数解,求正数m的值.
22、4-1(几何证明选讲)(本小题10分)
如图, ?ABC内接于⊙O, AB是⊙O的直径, PA是过点A的直线, 且?PAC??ABC. (Ⅰ) 求证: PA是⊙O的切线;
(Ⅱ)如果弦CD交AB于点E, AC?8, CE:ED?6:5, AE:EB?2:3, 求
sin?BCE.
23.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中, 过点P(点M,N.
(Ⅰ) 写出直线l的参数方程;
(Ⅱ) 求
33,)作倾斜角为?的直线l与曲线C:x2?y2?1相交于不同的两22C
P
11? 的取值范围. PMPNA
E
. O
B
24.选修4-5:不等式选讲
设不等式2x?1?1的解集为M, 且a?M,b?M. (Ⅰ) 试比较ab?1与a?b的大小;
D 4
(Ⅱ) 设maxA表示数集A中的最大数, 且h?max?25、实验班附加
?2?a,a?bab,2??, 求h的范围. b?13x?bx2?cx?d,设曲线y?f(x)在与x轴交点处的切线为y?4x?12,f?(x)3为f(x)的导函数,满足f?(2?x)?f?(x).
已知函数f(x)?(Ⅰ)设g(x)?xf?(x),m?0,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(Ⅱ)设h(x)?lnf?(x),若对一切x?[0,1],不等式h(x?1?t)?h(2x?2)恒成立,求实数t的取值
范围.
ABCDD AAAAD AB 13. x?1或x?3135?1? 14. 15. 16. ?0,?
21012?4?17.
18. 解:(Ⅰ)依题可知平面区域U的整点为:(0,0),(0,?1),(0,?2),(?1,0),(?2,0),(?1,?1)共有13个,上
述整点在平面区域V的为:(0,0),(1,0),(2,0)共有3个,
1C32C1015P??∴. ……………………………………………………………(4分) 3C13143(Ⅱ)依题可得,平面区域U的面积为??22?4?,
1?2平面区域V与平面区域U相交部分的面积为???2?.
8211?23?1,得???,也可用向量的夹角公式求?).
(设扇形区域中心角为?,则tan??1141??23?1?,随机变量X的可能取值为:0,1,2,3. 在区域U任取1个点,则该点在区域V的概率为
8?8 5
河北省衡水中学高三数学内部模拟测试试题(一)新人教A
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