河北省衡水中学2014届高三内部模拟测试（一）数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置.
1、已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1?i)?11?ni，则(
A．i
B．?i
C．1
m?ni2009)等于（ ） m?niD．-1
2、若函 数y?f(x)的图象和y?sin(x?A．cos(x??4)的图象关于点P(?4 表 达 式 是 ,0)对称,则f(x)的
?) B．?cos(x?) C．?cos(x?) D．cos(x?)
44441的最小125???3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<整数n是 （ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
4、阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A.
1321813B. C. D. 2113138
5、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正
三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 ( )
A．23?
B．
8? 316? C．43 D．
3?x?0?6、.设点P(x,y)满足条件?y?0，点Q（a,b）满足OP?OQ?1恒成立，其中O是原点，a?0,b?0，
?y?2x?2?则Q点的轨迹所围成图形的面积是（ ）
1 B.1 C.2 D.4 2uuuruuur1uuur。7、已知在?ABC中AB?3,?A?60，?A的平分线AD交边BC于点D，且AD??AC?AB(??R)，
6A.
则AD的长为( )
（A）
3 （B）3 （C）1 （D）2 28.如图的倒三角形数阵满足：（1）第1行的，n个数，分别
1
是1，3，5，…，2n?1；（2）从第二行起，各行中的每 一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有n行．问： 当n?2012时，第32行的第17个数是（ ）
A．2 B．236?2012 C．2 D． 2
9．如果关于x的一元二次方程x2?2?a?3?x?b2?9?0中，a、b分别是两次投掷骰子所得的点数，则该二次方程有两个正根的概率P?（ ） A.
37363211113 B. C. D.189618
10．设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面?,?截球O的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角??l??的平面角为
5?，则球O的表面积为( ) 6A.4? B.16? C.28? D.112?
x2y20?的一点，F1，11、动点P为椭圆2?2?1?a?b?0?上异于椭圆顶点??a，F2为椭圆的两个焦
ab点，动圆C与线段F1P，F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ） A．一条直线 B．双曲线右支 C．抛物线 D．椭圆
log(x?1),x?[0,1)??1212、定义在R上的奇函数f(x)，当x?0时，f(x)??，则关于x的函数 ??1?|x?3|,x?[1,??)F(x)?f(x)?a(0?a?1)的所有零点之和为（ ）
A．2?1 B．1?2 C． 2二、填空题
13.已知(2x?xlgx8aa?a?1 D．1?2?a
)的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，则实数x的值为 .
1214. 用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设f(x)?max{x，x}(x?)，那么由函数y?f(x)的
41图象、x轴、直线x?和直线x?2所围成的封闭图形的面积是 .
415. 已知
xa22?y2b2?1(a?b?0)，M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率
分别为k1，k2（k1 k2≠0），若k1?k2的最小值为1，则椭圆的离心率为 。 16.已知(x?215x5)的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)?x，3若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f(x)?kx?k有4个零点，则实数k的取值范围是 .
2
三、解答题：本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分12分)△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列．
2
（I）若sinB= sinAsinC，试判断△ABC的形状； （Ⅱ）若△ABC为钝角三角形，且a>c，试求sin2
18、(本小题满分12分)在平面xoy内，不等式x2CAA1?3sincos?的取值范围 2222?x?2y?0不等式组??y2?4确定的平面区域为U，
?x?3y?0确定的平面区域为V.
（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域U任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区．．．．．．．．域V的概率；
（Ⅱ）在区域U每次任取1个点，连续取3次，得到3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的．．．
分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，D,E分别是正三棱柱ABC?A1B1C1的棱AA1、B1C1的中点，且棱AA1?8，AB?4. （Ⅰ）求证：A1E//平面BDC1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点M，使二面角M?BC1?B1的大小为60o，若存在，求AM的长，若不存在，说明理由。
20．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
的椭圆过点（
，
）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．
3
21、(本小题满分12分)设函数f(x)?lnx? (1)当a?b?12ax?bx. 21时，求函数f(x)的最大值； 21a(2)令F(x)?f(x)?ax2?bx?，（0?x?3）
2x1其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
22(3)当a?0，b??1，方程2mf(x)?x有唯一实数解，求正数m的值．
22、4-1（几何证明选讲）（本小题10分）
如图, ?ABC内接于⊙O, AB是⊙O的直径, PA是过点A的直线, 且?PAC??ABC. (Ⅰ) 求证: PA是⊙O的切线;
(Ⅱ)如果弦CD交AB于点E, AC?8, CE:ED?6:5, AE:EB?2:3, 求
sin?BCE.
23.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中, 过点P(点M,N.
(Ⅰ) 写出直线l的参数方程;
(Ⅱ) 求
33,)作倾斜角为?的直线l与曲线C:x2?y2?1相交于不同的两22C
P
11? 的取值范围. PMPNA
E
. O
B
24.选修4-5：不等式选讲
设不等式2x?1?1的解集为M, 且a?M,b?M. (Ⅰ) 试比较ab?1与a?b的大小;
D 4
(Ⅱ) 设maxA表示数集A中的最大数, 且h?max?25、实验班附加
?2?a,a?bab,2??, 求h的范围. b?13x?bx2?cx?d，设曲线y?f(x)在与x轴交点处的切线为y?4x?12，f?(x)3为f(x)的导函数，满足f?(2?x)?f?(x)．
已知函数f(x)?（Ⅰ）设g(x)?xf?(x)，m?0，求函数g(x)在[0,m]上的最大值；
（Ⅱ）设h(x)?lnf?(x)，若对一切x?[0,1]，不等式h(x?1?t)?h(2x?2)恒成立，求实数t的取值
范围．
ABCDD AAAAD AB 13. x?1或x?3135?1? 14. 15. 16. ?0,?
21012?4?17.
18. 解：（Ⅰ）依题可知平面区域U的整点为：(0,0),(0,?1),(0,?2),(?1,0),(?2,0),(?1,?1)共有13个，上
述整点在平面区域V的为：(0,0),(1,0),(2,0)共有3个，
1C32C1015P??∴. ……………………………………………………………（4分） 3C13143（Ⅱ）依题可得，平面区域U的面积为??22?4?，
1?2平面区域V与平面区域U相交部分的面积为???2?.
8211?23?1,得???，也可用向量的夹角公式求?）.
（设扇形区域中心角为?，则tan??1141??23?1?，随机变量X的可能取值为：0,1,2,3. 在区域U任取1个点，则该点在区域V的概率为
8?8 5
河北省衡水中学高三数学内部模拟测试试题(一)新人教A
