[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P81～P85的内容，回答下列问题． 已知函数：
①y＝f(x)＝c，②y＝f(x)＝x，③y＝f(x)＝x2， 1
④y＝f(x)＝，⑤y＝f(x)＝x.
x(1)函数y＝f(x)＝c的导数是什么？
Δyf（x＋Δx）－f（x）c－c
提示：∵＝＝＝0，
ΔxΔxΔx
(2)函数②③④⑤的导数分别是什么？
1?11
提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x2)′＝2x，?′＝－，(x)′＝ . 2?x?x2x(3)函数②③⑤均可表示为y＝x(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？
1?111－－αα－1提示：∵(x)′＝1·x11，(x2)′＝2·x21，(x)′＝?′＝x－1＝，∴(x)′＝αx． ?x2?222x2．归纳总结，核心必记 (1)基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝x(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax αα导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝α·xα－1 f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝axln_a(a＞0) f′(x)＝ex 1f′(x)＝(a＞0，且a≠1) xln a 1
f(x)＝ln x (2)导数运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； ②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； 当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)．
1f′(x)＝ xf（x）?f′（x）g（x）－f（x）g′（x）?③?′＝(g(x)≠0)． ?[g（x）]2?g（x）?
[问题思考]
(1)常数函数的导数为0说明什么？
提示：说明常数函数f(x)＝c图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴．
(2)对于公式“若f(x)＝x(α∈Q*)，则f′(x)＝αx式是否仍然成立？
提示：当α∈R时，f′(x)＝αx(3)下面的计算过程正确吗？
α－1
αα－1
”，若把“α∈Q*”改为“α∈R”，公
仍然成立．
?sinπ?′＝cosπ＝2. 42?4?提示：不正确．因为sin
π2
＝是一个常数， 42
π
而常数的导数为零，所以?sin?′＝0．
?4?(4)若f(x)，g(x)都是可导函数，且f(x)≠0，那么下列关系式成立吗？ ①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)； 1f′（x）②?f（x）?′＝－. ??[f（x）]2
提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确．
[课前反思]
(1)基本初等函数的导数公式有哪些？
； (2)导数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？
．
2
[思考] 你能说出函数f(x)＝c与f(x)＝x、f(x)＝sin x与f(x)＝cos x、f(x)＝ax与f(x)＝ex、f(x)＝logax与f(x)＝ln x的导数公式有什么特点和联系吗？
名师指津：(1)幂函数f(x)＝x中的α可以由Q*推广到任意实数． (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．
(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，(ex)′＝ex是(ax)′＝axln a的特例．
11(4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数，(ln x)′＝是(logax)′＝的特
xxln a例．
讲一讲
1．求下列函数的导数：
(1)y＝10x；(2)y＝lg x；(3)y＝log1x；
2(4)y＝
4
x3；(5)y＝
αα?sin x＋cos x?－1.
2??2
2
[尝试解答] (1)y′＝(10x)′＝10xln 10. 1
(2)y′＝(lg x)′＝.
xln 10
11
(3)y′＝(log1x)′＝＝－.
1xln 2xln 223
313
(4)y′＝(x3)′＝(x4)′＝x－＝.
444
4x
4
xx
sin ＋cos ?－1 (5)∵y＝?2??2xxxx
＝sin2＋2sin cos ＋cos2－1
2222＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．
3
2
高中数学人教A版选修1-1教学案：第三章 3.2 导数的计算 Word版含答案
