第一章 实数的概念、性质和运算
一、实数及其运算
??整数（正整数、零和负整数）实数?有理数???分数（正分数和负分数）
??无理数（即为无限不循环小数） 整数还有以下分类：
?整数??偶数 ?1奇数 正整数?质数 ???合数1、自然数 我们把0,1,2,3,叫做自然数，自然数的集合用字母N
表示，即N??0,1,2,3,?，自然数也叫非负整数，除0以外的自然数叫做正整数。自然数具有下面的性质：
（1）自然数n的后继数（n的后面与它相邻的数）是n?1 （2）两个自然数的和、差的绝对值以及它们的积都是自然数。
2、奇数与偶数
当自然数n1被自然数n2(n2?0)除，
所得商仍是一个自然数时，我们就说自然数n1能被自然数n2整除，此时称n1是n2的倍数；n2是n1的约数。
能被2整除的自然数都是偶数；不能被2整除的自然数都是奇数。偶数都可以表示成2k(k为整数）的形式；奇数都可以表示成2k?1(k为整数）的形式。
3、素数与和数
若一个正整数只有1和它本身两个约数，则称这个正整数为素数（或质数）。若一个正整数有除1和自身以外的约数，则称这个正整数为合数。正整数可以分为3类：自然数1，素 数与合数。2是最小的素数，除2以外的素数都是奇数。
大于1的任意自然数都可以表示成若干个素因数连乘积的形式，如：120?23?3?5，我们把这个
分解得的算式（如23?3?5）叫做该自然数的素因数分解式。对于给定的大于1的自然数，它的素因
数分解式是唯一的。
4、公约数和公倍数
（1）公约数
设a1,a2,a3,,an(n?2)是n个正整数，若d是它们中每一个数的约数，则称d为这n个
整数的公约数（或公因数）。n个正整数a1,a2,a3,,an(n?2)的公约数中最大的一个，
叫做这n个正整数的最大公约数。若n个正整数的最大公约数是1，则称这n个正整数互质。
（2）公倍数 设a1,a2,a3,,an(n?2)是n个正整数，
若a是它们中每一个数的倍数，则称a为这n个正整数的公倍数。n个正整数a1,a2,a3,,an(n?2)的公倍数中最小的一个，叫做这n个正整数
的最小公倍数。
5、数的整除
（1）如果a,b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除。
（2）如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。 （3）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
（4）如果b与c都能整除a，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a。 （5）零能被任意非零自然数整除；
（6）能被2整除的数个位数字是0,2,4,6,8；
（7）各位数字之和能被3（或9）整除的数必能被3（或9）整除； （8）末两位数能被4整除的数必能被4整除； （9）末位数是0或5的数能被5整除；
（10）两个相邻自然数中，必有一个是偶数，另一个是奇数；
6、循环小数转化成分数的方法 记循环小数0.135135135?0.135
0.aa2ak1ak?a110k?1
7、有理数和无理数之间的运算规律 有理数?无理数=无理数
非零有理数?无理数=无理数 非零有理数?无理数=无理数 无理数?非零有理数 =无理数
二、绝对值、平均值
一）绝对值
1．绝对值的定义：
a???aa?0?aa?0,a???aa?0??aa?0,a2?a
?2．几何意义：实数a的绝对值就是数轴上与a对应的点到原点的距离。 3．绝对值的主要性质： 1）a?0 2）
a??a
3）a?b?a?b等号成立的条件为ab?0
4）
a?b?a?b等号成立的条件为ab?0
5）a?b?a?b 等号成立的条件为 ab?0 6）
a2?a2
4．非负数 （1）
a?0
（2）a2?0
（3）若a有意义，则a?0,且a?0
二）绝对值方程与不等式
1、两类主要绝对值函数 1）、f(x)= |x-a|+|x-b |
解题思路：1）主要考虑f(x)的最小值，其最小值是|b-a|；
2）当a?x?b时取到最小值； 3）图像特点：中间平，两头翘。
2）、f(x)= |x-a|-|x-b | 解题思路：1）主要考虑
f(x)的最大值和最小值，其最大值是b?a，最小值是?b?a；2）图像特点：两头平，中间斜。
2、绝对值方程问题 解题思路：
1）方程f(x)?x?a?x?b?c有解，等价于c?f(x)min 2）方程f(x)?x?a?x?b?c无解，等价于c?f(x)min
3）方程f(x)?x?a?x?b?c有解，等价于
f(x)min?c?f(x)max
4）方程f(x)?x?a?x?b?c无解，等价于
c?f(x)min或c?f(x)max
3、绝对值不等式恒成立问题
解题思路：1）若不等式f (x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)min?A； 2）若不等式f (x) 4、绝对值不等式能成立问题（有解；解集非空） 解题思路： 1）在区间D上存在实数使不等式f(x)?A成立，则等价于在区间D上f(x)max?A 2）在区间D上存在实数使不等式 f(x)?B成立，则等价于在区间D上f(x)min?B 5、不等式无解问题 解题思路： 在区间D上存在实数使不等式f(x)?A无解，则等价于在区间D上f(x)max?A； 在区间D上存在实数使不等式f(x)?B无解，则等价于在区间D上f(x)min?B 6、绝对值不等式的解法 1）、基本解法 f(x)?a?f(x)?a或f(x)??a（a?0） ，若a<0则解集为R； f(x)?a??a?f(x)?a（a?0） ，若a?0时，则解集为Φ； f(x)?g(x)?f2(x)?g2(x) 注意变形：f(x)?g(x)?f(x)?g(x)?0 f(x)?g(x)?f2(x)?g2(x) 注意变形：f(x)?g(x)?f(x)?g(x)?0 f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x) f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x) 2）形如ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?(?)0的方程或不等式 解题思路：利用x2?x2，将ax2?bx?c化成ax2?bx?c 三）、平均值 1．算术平均值：n个数x1,x2,,xn的算术平均值为 x1?x2??xn，记为： x?1nnn?i?1xi 2.几何平均值：n个正数x1,x2,,xn的几何平均值为 nnx1?x2??xn,记为G?n?xi i?13．算术平均值与几何平均值的关系 x1?x2??xnnn?x1?x2??xn 第二章 整式和分式 一、熟记一些乘法公式： (a?b)2?a2?2ab?b2(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3 (a?b)(a?b)?a2?b2(a?b)(a2ab?b2)?a3?b3a2?b2?c2?ab?bc?ac?12[(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2]a2?b2?c2?ab?bc?ac?12[(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2]二、整式的除法运算 多项式 f(x)除以多项式g(x)，商式是q(x)，余式是r(x)，则 f(x)?q(x)g(x)?r(x) 若r(x)?0，则称 f(x)能被g(x)整除，此时f(x)?q(x)g(x)，称q(x)和g(x)均为f(x)的因式。 三、余式定理和因式定理 余式定理如果f(x)?an0x?a?11xn??an除以 一次因式x?a所得的余式一定是 f(a)。 因式定理如果f(x)?an10x?a1xn???an含有因式(x?a)，即 f(x)被(x?a)整除的 充要条件是f(a)?0。 注意：当 f(x)除以一个一次因式x?a时，用一次余式定理或因式定理即可；当f(x)除 以一个二次因式ax2?bx?c时，一般将ax2?bx?c分解成两个一次因式相乘，再利用两次余 式定理或因式定理即可。 第三章 方程与不等式 一、一元二次方程 1、标准形式为：ax2?bx?c?0(a?0) 2、解法： ① 因式分解法 ② 配方法： ③ 公式法：b?b2x???4ac 2a3、一元二次方程的判别式：ax2?bx?c?0(a?0)Δ=b2-4ac ①当Δ>0时，有两个不相等的实数根。 ②当Δ=0时，有两个相等实数根。 ③当Δ<0时，方程无实根。 注意：在讨论方程ax2?bx?c?0有实数根的情况时，要分a?0和a?0两种情况讨 论。 4、一元二次方程根与系数的关系： 设ax2?bx?c?0的两根为x1,x2，则有 xxb,xc 1?2??a1x2?a当一元二次方程为x2?px?q?0时，则有 x1?x2??p,x1x2?q 11x1?x??x21x2x1?x2 1(x1?x2x2?12?)2?2x1?x221x2(x1?x2) x2221＋x2＝(x1?x2)?2x1?x2 x3＋x3?x212＝(x12)[(x1?x2)?3x1?x2] x3321－x2＝(x1?x2)[(x1?x2)?x1?x2] |x21?x2|?(x1?x2)?4x1?x2 5、方程ax2?bx?c?0(a?0)根的综合讨论 （1）方程有两个正根????0?0 ?x?1?x2?x1x2?0（2）方程有两个负根????0?x0 ?1?x2??x1x2?0（3）一正一负根????0，特别正根绝对值比负根绝 ?x1x2?0对值大时，????0?x?0 ?1?x2?x1x2?0负根绝对值比正根绝对值大时，????0?x?x 12?0??x1x2?0（4）f(x)?ax2?bx?c?0(a?0)的实根分布 ?f(k)?0?f(k)?0①x1?x2?k???b；②???ba?kx1?x2?k????k ?2???2a???0????0③x1?k?x2?f(k)?0 ?f(k④ 1)?0?f(k)?0 2k?x??11?x2?k2???k??b12a?k2?????0⑤ ?f(k1)?0k?xk?? 11?2?x2?k3?f(k2)?0??f(k3)?06、以x1,x2两数为根的一元二次方程为 x2?(x1?x2)x?x1x2?0 7、若实数x?x?212，且满足?ax1?bx1?c?0ax(a?0)，则 ?22?bx2?c?0x1,x2是一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)两个不相等的实数根。 8、高次方程或特殊方程的求解 一些高次方程、指数方程、对数方程都可通过换元化为一 元二次方程求解，注意换元时成立的条件，如 x2?1?t?1,f(x)?t?0,am?t?0(a?0)等。 二、一元二次不等式 1）一元二次不等式的解法 考题中一元二次不等式通常与其他的知识结合起来，解题时要特别注意题中的隐含条件，如函数的定义域、绝对值非负等等，并且要熟练不等式解集的结构。 求解一元二次不等式借助二次函数图像最为简便，做法是先确定二次项系数正负号，其次再研究判别式?。二次函数，一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系表： 判别式 △>0 △=0 △<0 二次函数 的图象 一元二次方程有两个不相等有两个相等没有实根 的实根 的实根 的根 不 实数集R 等(a?0) 式 {} ? ? 解(a?0)集 二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，可以先化成二次项系数是正数的不等式，再求它的解集． 三、分式不等式 f(x)g(x)?0?f(x)g(x)?0； f(x)g(x)?0?f(x)g(x)?0； f(x)?f(x)g(x)?0； g(x)?0???g(x)?0f(x)?f(x)g(x)?0 g(x)?0???g(x)?0四、无理不等式 ?f(x)?0或?ff(x)?g(x)???g(x)?0?(x)?0 ??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2?f(x)?f(x)?g(x)??0 ?g(x)?0??f(x)?[g(x)]2?f(x)?0f(x)?g(x)?? ?g(x)?0??f(x)?g(x) 五、已知一元二次不等式的解集求不等式中系数 这类题主要是利用不等式的解与一元二次方程根的关系，再利用韦达定理反求参数。 六、不等式对任意实数x恒成立问题 不等式ax2?bx?c?0对任意x恒成立的条件是：??a?0 或 ?a?b?0??0 ???c?0不等式ax2?bx?c?0对任意x都成立的条件是??a?0 或 ?a?b?0?0 ????c?0 第四章应用题 1、工程问题 有关计算单位时间（1天、1小时、1分钟）内的工作量（即工作效率），以及完成一定的工作量所需要的时间（简称工作时间），与在一定时间内所完成的工作量（简称工作总量）的问题叫做工程问题。 有关工程问题的关系式有： 工作效率?工作时间 = 工作总量 工作总量?工作时间 = 工作效率 工作总量?工作效率 = 工作时间 在问题中，若对于工作总量与工作效率没有说明具体的数量，那末，我们通常把工作总量看作“1”(100%)。
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