二次函数压轴题
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1. 如图，直线y＝4x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点是(－1，－2)，且与y轴交于点C(0，－1)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥AB于点M.记线段PM的长为d，求d关于m的函数关系式，并求d取最小值时点P的坐标；
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(3)若点F在直线y＝4x－3上移动，在抛物线的对称轴上存在点E，使CE＋EF取最小值．请直接写出CE＋EF的最小值．
第1题图
1. 解：(1)根据题意，把点(－1，－2)，C(0，－1)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中，
???1－b＋c＝－2?b＝2得?，解得?， ??c＝－1c＝－1??
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－1； (2)如解图①，作PD⊥x轴，交AB于点D， ∵点P的横坐标为m，
1
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∴P(m，m2＋2m－1)，D(m，4m－3)， ∵点P恒在点D的上方，
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∴DP＝ m＋2m－1－4m＋3＝ m＋4m＋2.
2
3
∵直线y＝4x－3与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴A(4，0)，B(0，－3)，
∴OA＝4，OB＝3，由勾股定理可得AB＝5，
第1题解图①
∵PD∥y轴，∴∠OBA＝∠MDP，
又∵∠AOB＝∠PMD＝90°，∴△AOB∽△PMD， OAAB45 ∴PM＝DP，即d＝DP，
4425452103∴d＝5DP＝ 5(m＋4m＋2)＝ 5(m＋8)＋80， 5
∴当m＝－8时，d取最小值， 525119
此时yp＝(－8)＋2×(－8)－1＝－64. 5119
故点P的坐标是(－8，－64)；
2
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(3)5.【解法提示】如解图②，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，过点C′作C′F②AB于点F，交直线x＝－1于点E，连接CE，由对称性可得CE＝C′E，
第1题解图②
∴CE＋EF＝C′E＋EF＝C′F，
∴此时CE＋EF最小，即CE＋EF的最小值为C′F. ∵C(0，－1)，抛物线的对称轴为直线x＝－1， ∴C′(－2，－1)，
4510314
由(2)可知当m＝－2时，d＝5(－2＋8)2＋80＝5， 14
即CE＋EF的最小值为5.
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2. 如图①，直线y＝4x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，－1)，抛123
物线y＝2x＋bx＋c经过点B，与直线y＝4x＋m交于另一点C，点C的横坐标为4.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，点D在抛物线上，DE⊥x轴交直线AB于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D的横坐标为m(0＜m＜4)，矩形DFEG的周长为L，求L与m的函数关系式以及L的最大值；
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(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和点A1的横坐标．
第2题图
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2. 解：(1)∵直线y＝4x＋m经过点B(0，－1)， 3
∴m＝－1，∴直线的解析式为y＝4x－1， 3
∵直线y＝4x－1经过点C，且点C的横坐标为4， 3
∴y＝4×4－1＝2，即C(4，2)，
1
∵抛物线y＝2x2＋bx＋c经过点C(4，2)和点B(0，－1)，
?1×42＋4b＋c＝2?b＝－5
4， ∴?2，解得?
?c＝－1?c＝－1
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∴抛物线的解析式为y＝2x2－4x－1； 34
(2)令y＝4x－1＝0，解得x＝3， 4
在Rt△OAB中，OB＝1，OA＝3，
4
∴AB＝OA＋OB＝
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（3）＋1＝3，
∵DE⊥x轴，∴OB∥DE，∴∠ABO＝∠DEF， 又∵∠AOB＝∠EFD＝90°，∴△AOB∽△DFE， 5433ABAOOB1
∴DE＝DF＝FE，即DE＝DF＝FE， 34
∴EF＝5DE，DF＝5DE，
4314
∴L＝2(DF＋EF)＝2(5DE＋5DE)＝5DE，
∵点D的横坐标为m(0 ∴D(m，2m－4m－1)，E(m，4m－1)， 3151 ∴DE＝(4m－1)－(2m2－4m－1)＝－2m2＋2m， 14127228∴L＝5×(－2m＋2m)＝－5m＋5m， 72828 ∵L＝－5(m－2)2＋5，∴当m＝2时，L有最大值5； 37 (3)“落点”的个数有2个，点A1的横坐标为4或－12. 第2题解图 5
2020年数学中考重难点突破之二次函数压轴题
