湖南省2024年普通高等学校对口招生考试
数 学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。时量120分钟。满分120分
一． 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则( )
A.{1,2,3,4,5,6} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{1,2,5,6} 2.“x2=9是x=3的( ) 条件
A.充分必要 B.必要不充分 C.充分不必要 D.既不充分也不必要 3.函数y=x2?2x的单调增区间是( )
A.(??,1] B.[1,+?) C. (??,2] D. [0,+?)
34.已知cos?=? ，且? 为第三象限角，则tan?=( )
54334A. B. C. ? D. ? 34435.不等式|2x?1|?1的解集是( )
A.{x|x?0} B. {x|x?1} C. {x|0?x?1} D. {x|x?0或x?1} 6.点M在直线3x+4y-12=0上，O为坐标原点，则线段OM长度的最小值是( )
1212A.3 B.4 C. D.
5257.已知向量a、b满足|a|=7,|b|=12,ab=?42,则向量a、b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.下列命题中，错误的是( ) ．． A.平行于同一个平面的两个平面平行 B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
9．已知a=sin15?,b=sin100?,c=sin200?,则a,b,c的大小关系为( ) A.a?b?c B.a?c?b C.c?b?a D.c?a?b
10.过点（1,1）的直线与圆x2+y2=4相交于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为( )
A.2 B.4 C.3 D.23 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11.某学校有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该学校学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取男生的人数为______。 12.函数f(x)=cosx+b（b为常数）的部分图像如图所示，则b=______。
1
13.(x+1)6 的展开式中x5的系数为______（用数字作答）。 14.已知向量a=（1,2），b =（3,4），c =（11,16），且c=xa+yb ，则x+y=______。
15.如图，画一个边长为4的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依次类推，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积为______。
三、解答题（本大题共7小题，其中第21、22小题为选做题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分10分）
已知数列{an}为等差数列，a1=1,a3=5;
⑴求数列{an}的通项公式；
⑵设数列{an}的前n项和Sn，若Sn=100，求n.
17.（本小题满分10分）
某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格，从中随机抽取2瓶检测，用ξ表示取出饮料中不合格的评述，求：
⑴随机变量ξ的分布列；
⑵检测出有不合格饮料的概率。 18. （本小题满分10分）
已知函数f(x)=loga(x?3),(a?0,a?1) 的图像过点（5,1）。 ⑴求f(x)的解析式，并写出f(x)的定义域 ⑵若f(m)?1，求m的取值范围。 19. （本小题满分10分）
AA1=AB=BC,AA1⊥底面ABC，如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，
∠ABC=90°，D为AC的中点。
⑴证明：BD⊥平面AA1C1C；
⑵求直线BA1与平面AA1C1C所成的角。
20.（本小题满分10分）
x2y2已知椭圆C:2+2=1( a?b?0) 的焦点为F1（-1,0），F2（1,0），点A（0,1）在椭
ab圆C上。
⑴求椭圆C的方程；
⑵直线l过点F1且与AF1垂直，l与椭圆C相交于M,N两点，求MN的长 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的第21题计分，作答时，请写清题号。 21. （本小题满分10分） 如图，在四边形ABCD中，BC=CD=6，AB=4，∠BCD=120°，∠ABC=75°，求四边形ABCD的面积。
22. （本小题满分10分）
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某公司生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲产品可获利4万元，生产1吨乙产品可获利润5万元，问：该公司如何规划生产，才能使公司每天获得的利润最大？
甲 乙 原料限额 A（吨） 1 2 8 B（吨） 3 2 12
3
参考答案
一、 选择题 题号 1 2 答案 C B 二、 填空题 3 B 4 A 5 D 6 D 7 C 8 B 9 D 10 A 11、25 12、2 13、6 14、5 15、三、解答题
1 32a3?a15?1==2 3?1216、解：⑴{an}为等差数列，a1=1,a3=5，所以公差d=故an=a1+(n?1)d=1+2(n?1)=2n?1 ⑵因为等差数列{an}的前n项和Sn=n(a1+an) ,Sn=100，所以有 2n(1+2n?1)=100 ，n=10 217、解：⑴?的可能取值有0，1， 2
102120C4C4C4C2C2C2812,, PP(?=0)=P((??==12))=====222C6C6C615155故随机变量?的分布列为： ? 0 1 2 281P 51515⑵设事件A表示检测出的全是合格饮料，则A表示检测的有不合格饮料
20C4C22因为检测出的全是合格饮料的概率P(A)=,所以检测的有不合格饮料的概率为 =2C6523P(A)=1?P(A)=1?=
55loga(5?3)=1，18、解：⑴由f(x)=loga(x?3)的图像过(5,1)得：即loga2=1，所以a=2 。
由对数性质知x?3?0,x?3；所以函数f(x)=log2(x?3)的定义域为(3,+?) 。 ⑵因为f(x)=log2(x?3)，f(m)?1,所以log2(m?3)?1 即有：log2(m?3)?log22
所以有0?m?3?2,3?m?5
即m的取值范围是(3,5)。
19、⑴证明：因为在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC， BD?底面ABC，所以AA1⊥BD 又AB=BC,∠ABC=90°，D为AC的中点 所以BD⊥AC
又AA1AC=A ，所以BD⊥平面AA1C1C
⑵因为BD⊥平面AA1C1C，连A1D，则?BA1D是直线BA1与平面 AA1C1C所成的角。 在直角?A1BD中，BD=
12AC=AB,A1B=2AB 224
所以sin?BA1D=BD1= , ?BA1D=30? A1B2x2y220、解：⑴因为椭圆C:2+2=1(a?b?0)的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0),
ab所以c=1
0212又点A(0,1)在椭圆C上,所以2+2=1，即b2=1
aba2=b2+c2=1+1=2
x2+y2=1 故椭圆方程为2⑵因为直线AF1的斜率kAF1=1,直线l过点F1且垂直AF1，所以直线l的斜率k=?1
直线l的方程为y=?x?1 ?y=?x?1?2y由?x2 消去得：3x+4x=0 2?+y=1?24设M,N坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1+x2=?,x1x2=0
34|x2?x1|=(x2+x1)2?4x1x2=
3442|MN|=k2+1?|x2?x1|=2?=
3342即MN的长为
321、解：连结BD,
在?BCD中，BC=6，DC=6，?BCD=120?， 由余弦定理得
BD2=BC2+DC2-2BC?DC?cos?BCD 所以
BD2=62+62-2?6?6?cos120? 即BD=63 又由BC=DC=6，?BCD=120?得 ?CDB=?CBD=30? 所以?ABD=45?
s四边形ABCD=s?ABD+s?BCD
11s四边形ABCD=BC?DC?sin?BCD+AB?BD?sin?ABD
2211?s四边形ABCD=?6?6?sin120+?4?63?sin?45?
221312s四边形ABCD=?6?6?+?63?4?
2222
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