第三章 刚体力学
3－1 一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？ 解：（1）由题可知：阻力矩M??C?，
又因为转动定理 M?J??Jd? dt??C??Jd? dt?d?tC?????dt ?0?0Jln?C??t ?0J???0e当??C?tJ
1J?0时，t?ln2。 2Ct （2）角位移???0?dt??J?0??。 2?4?CJln2C0?0eC?tJdt?1J?0，
2C 所以，此时间内转过的圈数为
n?3－2 质量面密度为?的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为J??ab(a2?b2)。其中a，b为矩形板的长，宽。 12 证明一：如图，在板上取一质元dm??dxdy，对与板面
垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为 dJ?r2dm
y ?b 0 a dm x ???ab22ab??22?(x2?y2)?dxdy
?12ab(a2?b2)
证明二：如图，在板上取一细棒dm??bdx，对通过细棒中心与棒垂直的转动轴的转
动惯量为
1dm?b2，根据平行轴定理，对与板12y 面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为
b 0 a dm x dJ?1adm?b2?dm(?x)2 1221a??b3dx??b(?x)2dx 12211??J??dJ??b3a??ba3?ab(a2?b2)
121212
3-3 如图3-28所示，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，求重物的加速度和各段绳中的张力。
解：受力分析如图
2mg?T2?2ma （1） T1?mg?ma （2） (T2?T)r?J? （3） (T?T1)r?J? （4）
图3-28 习题3-3图
T
a?r?，J?联立求出
12mr (5) 2a?11153g， T?mg，T1?mg，T2?mg 4842
3-4 如图3-29所示，一均匀细杆长为L，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上，设开始时杆以角速度?0绕过细杆中心的竖直轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 （1） 解：设杆的线??m，在杆上取一小质元dm??dx l图3-29 习题3-4图
df??dmg???gdx
dM???gxdx 考虑对称 1M?2???gxdx??mgl
4（2） 根据转动定律M?J??J
l20d? dt?t0?Mdt??Jd?
w00 ?11?mglt??ml2?0 412 所以 t??0l 3?g3－5 质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在如本题图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间的摩擦力略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳中的张力。
解：分别对两物体做如图的受力分析。根据牛顿定律，有
m1g?T1?m1a1 T2?m2g?m2a
又因为组合轮的转动惯量是两轮惯量之和，根据转动定理有
T1R?T2r?(J1?J2)?
而且，a1?R?，a2?r?，
?a1?m1R?m2rgR22J1?J2?m1R?m2rm1R?m2rgr
J1?J2?m1R2?m2r2
a2?T2 T1?J1?J2?m2r?m2Rrm1g
J1?J2?m1R2?m2r22Bm2ga2 T1a1 AJ1?J2?m1R2?m1Rr T2?m2g 22J1?J2?m1R?m2rm1g3－6 如本题图所示装置，定滑轮的半径为r，绕转轴的转动惯量为J，滑轮两边分别悬挂质量为m1和m2的物体A、B。A置于倾角为θ的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ。若B向下作加速运动时，求：（1）其下落加速度的大小；（2）滑轮两边绳子的张力。（设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑） 解:A、B物体的受力分析如图。根据牛顿定律有 T1?m1gsin??f?m1a1
Nm2g?T2?m2a2
对滑轮而言，根据转动定律有 T2r?T1r?J?
由于绳子不可伸长、绳与轮之间无滑动，则 a1?a2?r?
AfT1a1T2?m1gBm2ga2 ?a1?a2?m2g?m1gsin???m1gcos?
m1?m2?Jr2m1m2g(1?sin???cos?)?(sin???cos?)m1gJr2 T1?2m1?m2?Jrm1m2g(1?sin???cos?)?m2gJr2 T2?m1?m2?Jr2
3-7 如图3-32所示，定滑轮转动惯量为 J，半径为 r；物体的质量为 m，用一细绳与劲度系数为 k 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止开始下落。求：（1）物体下落的最大距离；(2) 物体的速度达最大值时的位置。 解：（1）机械能守恒。 设下落最大距离为h
图3-32 习题3-7图
12kh?mgh 22mg h?
k121212（2）kx?mv?J??mgx
222
??22mgx?kx??
v??J?m???r2??dvmg若速度达最大值， ?0，x?dxk
3-8 如图3-33所示，一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k?40N/m，当??0o时弹簧无形变，细棒的质量m?5.0kg，求在??0o的位置上细棒至少应具有多大的角速度?，才能转动到水平位置？
解：机械能守恒
1211122 mg?J??kx
222222图3-33 习题3-8图
?1 根据几何关系 (x?0.5)?1.5?1 ??3.28rad?s
3-9 如图3-34所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕过O点的水平轴在竖直面内转动。若盘从图中实线位置开始由静止下落，略去轴承的摩擦，求：（1）盘转到图中虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。
解：在虚线位置的C点设为重力势能的零点，下降过程机械能守恒
mgR?11J?2 J?mR2?mR2 224Rg 3图3-34 习题3-9图
??4g vc?R??3RvA?2R??16Rg 3 Fy?mg?mR?2?7mg 方向向上 3
3-10 如图3-35所示，一质量为m的质点以v的速度作匀速直线运动。试证明：从直线外任意一点O到质点的矢量r在相同的时间内扫过的面积相同。
解：质点不受任何力作用才会作匀速直线运动，因而它对O点的力矩也为零，即对O点的角动量守恒 mvrsin??常量。另一方面，矢量r在单位时间内扫过的面积：?S?图3-35 习题3-10图
1vrsin?=常量。 2
3-11 如图3-36所示，质量m的卫星开始时绕地球作半径为r的圆周运动。由于某种原因卫星的运动方向突然改变了? =30°角，而速率不变，此后卫星绕地球作椭圆运动。求（1）卫星绕地球作圆周运动时的速率v；（2）卫星绕地球椭圆运动时，距地心的最远和最近距离r1和r2。
mMv2解：（1）由 G2?m，得 v?rrGM r图3-36 习题3-11图
（2）卫星在运动过程中对地心的角动量守恒和机械能守恒：
r?mvcos30??r1?mv1?r2?mv2
12mM12mM12mMmv?G?mv1?G2?mv2?G2 2r22r1r2其中，v1、v2分别是卫星在远地点与近地点时的速率，可求出
r1?31r，r2?r 223－12 如本题图所示，质量为M长为L的均匀直杆可绕过端点o的水平轴转动，一质
量为m的质点以水平速度v与静止杆的下端发生碰撞，如图示，若M=6m，求质点与杆分别作完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞后杆的角速度大小。 解：（1）质点与杆完全弹性碰撞，则能量守恒
12112mv?J?2?mv1 222o M m v 习题3-7图
又因为角动量守恒 Lmv?Lmv1?J?
12 且 J?ML，M?6m
3L
大物习题解答-大学物理习题答案(许瑞珍_贾谊明)-第3章 刚体力学
