a?19952?19952?19962?19962?x2?x2(x?1)2?(x?1)2
?(x?1)2?2x(x?1)?x2?2x(x?1)?x2(x?1)2?(x?1?x)?2x(x?1)?[x(x?1)]?1?2x(x?1)?[x(x?1)]2?[1?x(x?1)]2?(1?1995?1996)2?3982021222
4、解：要证明|m｜是合数，只要能证出｜m｜＝p2q，p2q均为大于1的正整数即可。
1证明：m?(ab?cd)2?(a2?b2?c2?d2)411 ?[ab?cd?(a2?b2?c2?d2)][ab?cd?(a2?b2?c2?d2)221 ?[2ab?2cd?a2?b2?c2?d2][2ab?2cd?a2?b2?c2?d2]
41 ?[(a?b)2?(c?d)2][(c?d)2?(a?b)2]41 ?(a?b?c?d)(a?b?c?d)(c?d?a?b)(c?d?a?b)4 因为m是非零整数，则
1(a?b?c?d)(a?b?c?d)(c?d?a?b)(c?d?a?b)是非零整数。由于4四个数a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘积应被4整除，所以四个数均为偶数。所以可设a+b+c-d=2m1，a+b-c+d=2m2，a-b+c+d=2m3，-a+b+c+d=2m4，其中m1，m2，m3，m4均为非零整数。所以m?1(2m1)(2m2)(2m3)(2m4)?4m1m2m3m4， 4所以｜m｜＝4｜m1m2m3m4｜≠0， 所以｜m｜是一个合数。
25、解：设a?10b?c，其中c取自0，1，2，3，4，??，9，将c写成两位数的形式为00，01，04，
09，16，25，36，49，64，81，其中只有c＝4、6时其十位数为奇数，又
a2?(10b?c)2?2?(5b2?bc)?10?c2，可见，a2的十位数是一个偶数加上c2的十位数，当a2的
十位数为奇数1，2，5，7，9时，a的个位数只能取4、6。
数学竞赛专项训练参考答案（2）－7
数学竞赛专项训练（3）方程参考答案
一、选择题
1、选B。原方程变为(x?a)(x?8)?1，???x?a?1?x?a??1， 或??x?8?1?x?8??1解得x=9或7，a＝8。
2、选C。原方程有整数解的条件有且只有以下3种：
①x?3?0而x2?x?1?0，此时x??3是方程的一个整数解；
②x2?x?1?1，解之得x??2或x??1，即原方程有两个整数解；22③x?x?1??1而x?3为偶数。解x?x?1??1得x?0或?1。显然仅当x??1时x?3?2为偶数。故原方程此时仅有一个整数解。
综上所述知方程的解共有1＋2＋1＝4个。
3、解：令d?m-? ?(2ax0?b)2?(b2?4ac) ?4a2x0?4ax0b?b2?b2?4ac ?4a(ax0?bx0?c) 应选B。4、应选B。因为方程有实数解，故b?4ac?0。由题意有
222
因x0是ax2?bx?c?0的根，所以d?0,即??M。?b?b2?4ac?b?b2?4ac2?b?4ac或者?b2?4ac。令u?b2?4ac2a2a则得2au2?u?b?0或2au2?u?b?0，因为u?b2?4ac是其解，所以方程 1的判别式非负，即1?8ab?0，即ab?。85、选B。由方程有实根，得△≥0，即
(k?2)2?4(k2?3k?5)?0?3k2?16k?16?0?(3k?4)(k?4)?0422??4?k??。又由x1?x2?k?2，x1?x2?k2?3k?5，得x1?x23
?(x1?x2)2?2x1x2?(k?2)2?2(k2?3k?5)??k2?10k?6?19?(k?5)2，当k??4时x1?x2取最大值18
6、选A。 ?22?3x?2y?z?5?x?7z?3???u?3(7z?3)?(?11z?7)?7z?3z?2
2x?y?3z?1y??11z?7?? 由x≥0，y≥0得
数学竞赛专项训练参考答案（3）－8
??7z?3?03737??z??3??2?3z?2?3??2 711711??11z?7?051?u?? 711515162?u最小?u最大???(?)?? ?u最小??，u最大?? 71171177 即?2??m?8n?0427、选B。因方程有实根，故?2，因此有m?64n?64m，
??4n?4m?0则m(m3?64)?0，因m?0，则m3?64，m?4，得m最小值是4。
2，故m?n的最小值为6。又n?m?8n，得n?2即n的最小值为
8、选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0①，
b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于x＝a+b+c+d=9。 二、填空题
421、设两个方程的根分别为x1、x2和x1、x3。?x1?ax1?b?0，x1?bx1?a?0， 两式相减得(a?b)(x1?1)?0，而a?b，故x1?1。代入任一方程可得a?b ?1＝0。解方程得x2?b??1?a，x3?a22?a?b??112、由已知a、b是方程x?11x?16?0的两根。?? ?a?0，b?0，而
ab?16?2baa?b1111???(a?b)??(a?b)2?4ab??121?64??57 ab444ab43、?x?(n?1)x?2n?1?0的两根为整数，它的判别式为完全平方式，故可设
??(n?1)?4(2n?1)?k（k为非负整数），即(n?3)?k?4满足上式的n、k只能是下列情况
之一： ??22222?n?3?k?4?n?3?k??1?n?3?k?2?n?3?k??2 或?或?或??n?3?k?1?n?3?k??4?n?3?k?2?n?3?k??2222 解得n＝1、5。
4、解：由题意得：??[2(k?1)]?4(k?2)?0，得k? 又x1?x2?2(k?1)，x1x2?k?2
21 ① 2所以(x1?1)(x2?1)?x1x2?(x1?x2)?1 ?k2?2?2(k?1)?1
?k2?2k?5 由已知得k?2k?5?8，解得k??3，k?1 ②
数学竞赛专项训练参考答案（3）－9
2 由①②得k＝1。
5、解：由已知b2-4b+m=0 ① b2-8b+5m=0 ② ①－②得：4b-4m=0 ∴b＝m ③
将③代入①得：m2-4m+m=0 ∴m=0或m=3。
6、解：??a2?4(a?2)?a2?4a?8?(a?2)2?4?0
∴对于任意实数a，原方程总有两个实数根。由根与系数的关系得：
x1?x2??ax1x2?a?2 ?(x?2x)(x?2x)??2(x?x)2?9xx
12211212963 ??2a2?9a?18??2(a?)2?48639 ∴当a=时原式有最大值－
48三、解答题
1、解：①当k=0时，x=-1，方程有有理根。
②当k≠0时，因方程有有理根，所以若k是整数，则??(k?1)2?4k＝k?6k?1必为完全
平方数，即存在非负整数m，使k?6k?1?m
配方得：(k?3)?m?8 (k?3?m)(k?3?m)?8
22222其积为8， 由k?3?m与k?3?m是奇偶性相同的整数，所以它们均为偶数，又
?k?3?m?4?k?3?m??2k－3＋m＞k－3－m，从而有? 或?k?3?m?2k?3?m??4?? ∴k=6或k=0（舍去）
综合①②可知，方程kx?(k?1)x?1?0有有理根，整数k的值为k=0或k=6。
22002?112、解：由前一方程得：x?x??0 200222002222 即x2?(1?11)x??0 2220022002 设方程两根为x1、x2，且x1＞x2 由根与系数的关系得：x1?x2?1? 则x1＝1，x2＝-1 22002211 x1x2??2220022002 同理由后一方程得：x?(1?11)x??0 20012001数学竞赛专项训练参考答案（3）－10
设方程两根为x1、x2，且x1＞x2，则x1＝1，x2＝
''''''1 20011， 200120001 所以r－s＝1－＝
20012001 由上述可知：r=1，s＝
3、解：设方程两根为x1、x2，则x1+x2＝4n－5 ∵4n－5是奇数，即x1+x2是奇数
∴x1与x2必定一奇一偶，而x1与x2都是质数。 故必有一个为2，不妨设x1＝2，则
2322－（8n－10）32－(n2－35n＋76)＝0
∴n=3或n=16
当n=3时，原方程即2x2－14x＋20＝0，此时两根为x1＝2，x2＝5 当n=16时，原方程即2x2－118x＋228＝0，此时两根为x1＝2，x2＝57
k?9，4、解：原方程可化为[(6?k)x?9][(9?k)x?6]?0，因此方程关于x的一元二次方程，所以k?6，
于是 x1＝96，x2? 从上面两式中消去k，得：x1x2?2x1?3x2?0 6?k9?k 于是(x1?3)(x2?2)??6 因为x1、x2均为整数，所以??3， ?2， ?1， 1， 2， 3， 6?x1?3??6，
2， 3， 6， ?6， ?3， ?2， ?1?x2?2?1， 故x1??9， ?6， ?5， ?4， ?2， ?1， 0， 3，显然x1≠0 又k?6x1?99?6， ?5， ?4， ?2， ?1， 3分别代入上式得?6?，将x1??9， x1x115393321k?7， ， ， ， ， 15， 3。
25425、解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为 Si?[(vi?v水 ）?（v水 ?v4)]?1?vi?v4 各艇追上④号艇的时间为 ti?vi?v4v?v42v4 ?i?1?(vi?v水 )?(v水 ?v4)vi?v4vi?v4 对v1＞v2＞v3＞v4有t1?t2?t3，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军。
数学竞赛专项训练参考答案（3）－11
初中数学竞赛专项训练
