长方体与三角形
知识结构
1、 长方体的元素及特征
1、元素：长方体有六个面，八个顶点，十二条棱． 2、特征：
（1）长方体的每个面都是长方形．
（2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等． （3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同． 2、 长方体的直观图画法：斜二侧画法
水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：
第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，?DAB?45?．（如图1所示）
第二步：过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高．（如图2所示）
第三步：顺次联结E、F、G、H．（如图3所示）
第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4所示）
模块一：长方体的再认识
知识精讲
A
图3
B
E
D F C
A E
A
图1 H G B
A
D
C E
H
F
D B
图2 H F D
B 图4
G
C
G
C
图4表示的长方体通常表示为ABCD-EFGH．它的六个面通常表示为：平面ABCD、平面ABFE、平面BCGF等．它的十二条棱通常分别表示为：棱AB、棱AE、棱EF等． 3、 长方体中棱与棱的位置关系
如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：
棱EH与棱EF所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．
棱EF与棱AB所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．
棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面． 4、 长方体中棱与平面的位置关系
如图5，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：直线PQ?平面ABCD，读作：直线PQ垂直于平面ABCD．
A D Q 图5
B A
图6
B
P
P
C
D Q C 如图6，直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线PQ// 平面ABCD，读作：直线PQ平行于平面ABCD．
如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：
棱EF与面BCGF，棱FG与面ABFE，棱BF与面ABCD都给我们以直线与平面垂直的形象．
棱EF与面ABCD，棱BF与面ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象．
5、 长方体中平面与平面的位置关系
如图7，平面?垂直于平面?，记作平面??平面?，读作平面?垂直于平面?．
如图8，平面?平行于平面?，记作平面?//平面?，读作平面?平行于平面?． 如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：
面EFGH，面ABFE与面BCGF三个面中，任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象．
面ABCD与面EFGH，面BCGF与面ADHE，面ABFE与面DCGH，都给我们以平面与平面平行的形象．
【例1】 如图，已知长方体ABCD-EFGH．
（1）哪些棱与AB平行？ （2）哪些棱与AB垂直？ （3）哪些棱与AB异面？
【例2】 如图，已知长方体ABCD-EFGH，与平面ADHE平行的平面是____________，与
平面ADHE垂直的平面是____________．
【例3】 下列关于长方体的说法中正确的是( )
A．长方体中互相平行的棱不一定相等
B．长方体中12条棱的位置关系只有平行和相交 C．长方体中相对的两个面一定平行 D．长方体中6个面的面积都相等
A
B
E
D F C
H
G
A
B
E
D H F C G
?
?
?
?
例题解析
【例4】 关于长方体有下列三个结论：
1长方体中每个面都是长方形； ○
2长方体中每两个面都互相垂直； ○
3长方体中相对的两个面是全等的长方形． ○
其中结论错误的个数是( ) A．0个
【例5】 如图，已知长方体ABCD-EFGH．这个长方体中与棱HE平行的平面是
____________，与棱HE垂直的平面是____________．
A
B
E
D H F C G
B．1个
C．2个
D．3个
【例6】 已知一个长方体的长、宽、高的比是3 : 2 : 1，它的所有棱长的和是72 cm，那么
这个长方体的体积是______cm3．
1、 邻补角
1、邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．如图，?1与?2有一条公共边OD，它们的另一条边OA、OB互为反向延长线，则?1与?2互为邻补角．
1
A
2
B
D
模块二：相交线与平行线
知识精讲
O
2、若?1与?2互为邻补角，则?1??2?180?．
3、互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． 2、 对顶角
1、对顶角的概念：
两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角．如图，?3与?4有一个公共顶点O，并且?3的两边OB、OC分别与?4的两边OA、OD互为反向延长线，则?1与?2互为对顶角．
2、对顶角相等． 3、 垂线
1、垂线的概念：
如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
D A
3
4
O
B C
沪教版中考复习第5讲：长方体与三角形-学生版
