第九讲 共点力作用下物体的平衡
教学目标 认识物体受力分析的一般顺序 初步掌握物体受力分析的一般方法，加深对力的概念、常见三种力的认识 体会用平行四边形定则和三角形定则进行矢量运算 掌握力的平衡条件 正确画出物体受力图 能运用数学知识进行相关力的计算 会分析平衡条件 （1）体会用平行四边形定则和三角形定则进行矢量运算 （2）能运用数学知识进行相关力的计算 讲练结合，运用三角形定则、平行四边形定则灵活解题 教学重点 教学难点 教学方法建议
一、检查学生的课后作业及知识温习 二、共点力
作用于物体上同一点的力，或力的作用线相交于一点的力叫做共点力。
三、平衡状态
物体处于静止或匀速直线运动状态叫做平衡状态。
四、共点力作用下的物体的平衡条件
共点力作用下的物体的平衡条件是物体所受合外力零，即F合= 0。在正交分解形式下的表达式为Fx合 = 0，Fy合 = 0。其中Fx合为物体在x轴方向上所受的合外力，Fy合为物体在y轴方向上所受的合外力。
平衡条件的推论：
1．物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中的一个力与余下的力的合力等大反向。 2．物体在同一平面的三个互不平行的力的作用下处于平衡状态时，这三个力必为共点力。
3．物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，这三个力的有向线段必构成封闭三角形，即表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形。 五、经典例题讲解
一、物体受力分析
物体之所以处于不同的运动状态，是由于它们的受力情况不同，要研究物体的运动，必须分析物体的受力情况，正确分析物体的受力情况，是研究力学问题的关键，是必须掌握的基本功。
如何分析物体的受力情况呢?主要依据力的概念、从物体所处的环境(有多少个物体接触)和运动状态着手，分析它与所处环境的其它物体的相互联系，具体的分析方法是： 1．确定所研究的物体，然后找出周围有哪些物体对它产生作用
不要找该物体施于其它物体的力，譬如所研究的物体叫A，那么就应该找出“甲对A”和“乙对A”及“丙对A”的力……而“A对甲”或“A对乙”等的力就不是A所受的力，也不要把作用在其它物体上的力错误地认为通过“力的传递”作用在研究对象上。 2．要养成按步骤分析的习惯
先画重力：作用点画在物体的重心。 后画接触力(弹力和摩擦力)：绕研究对象逆时针(或顺时针)观察一周，看对象跟其它物体有几个接触点
(面)，对每个接触点(面)若有挤压，则画出弹力，若还有相对运动或趋势，则画出摩擦力，分析完一个接触点(面)后再依次分析其它的接触点(面)。
再画其它场力：看是否有电、磁场力作用，如有则画出场力。 3．画完受力图后要检查
检查一下画出的每个力能否找出其它的施力物体，若没有施力物体，则该力一定不存在，特别是检查一下分析的结果，能否使对象处于题目所给的运动状态(静止或匀速)，否则，必然发生了多力或漏力现象。 4．如果有一个力的方向难以确定，可用假设法分析
先假设此力不存在，观察所研究的物体会发生怎样的运动，然后审查这个力应在什么方向，对象才能满足给定的运动状态。
注意：合力和分力不能重复地列为物体所受的力。
力的合成与分解的过程是合力与分力“等效替代”的过程，合力和分力不能同时存在，在分析物体受力情况时，如果已经考虑了某个力，那么就不能再考虑它的分力。例如，在分析斜面上物体的受力情况时，就不能把物体所受重力和“下滑力”并列为物体所受力，因为“下滑力”是物体所受重力在沿斜面方向上的一个分力。
二、共点力平衡条件及正交分解法
1．共点力作用下物体的平衡条件是
??Fx合＝0。F合=0，用正交表示为?
F＝0。??y合2．在建立直角坐标系时，要考虑尽量减少力的分解
3．若物体以初速v0沿倾角为θ的固定斜面向下运动，则当μ=tanθ时匀速
证明如下：
由正交分解法得，物体沿斜面向下的力为mgsinθ，沿斜面向上的摩擦力F=μmgcosθ。 当匀速向下时有：mgsinθ=μmgcosθ μ=tanθ(与m无关)。
三、用平衡条件解题的常用方法
1．正交分解法 合成法
力的合成法：物体受三个力的作用而平衡时，其中任意两个力的合力必与第三个力等大反向。这是解三力平衡问题时常用方法。注意：有时物体受四个力作用，也可将同一直线上的两个力等效为一个力，从而转化为三个力平衡问题，可利用平行四边形定则，根据三角形的边角关系或相似三角形求解。 2．临界现象
当某种物理现象变化为另一种物理现象，或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃转折状态，通常叫做临界状态，出现“临界状态”时，既可理解成“恰好出现”也可理解成“恰好不出现”的物理现象。 3．极限分析法
通过恰当地选取某个物理量推向极端(“极大”和“极小”、“极左”和“极右”等)，从而把比较隐蔽的临界现象(或“各种可能性”)暴露出来，便于解答。
4．通过本专题训练，着重掌握处理连结体问题的方法——隔离法和整体法
①合理选择研究对象，这是解答平衡问题成败的关键之一。
研究对象的选取关系到能否得到解答或能否顺利得到解答，当选取所求力的物体，不能做出解答时，应选取与它相互作用的物体为对象，即转移对象，或把它与周围的物体当做一整体来考虑，即部分的看一看，整体的看一看。
通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统各物体(各部分)间相互作用时，用隔离法。 ②对研究对象进行受力分析，列平衡方程。
【例题1】如图所示，棒AB的
类型一、共点力物体的平衡
一端支在地上，另一端受力F作用，棒呈静止状态，则地面对棒的作用力的方向（ ）
A．总是偏向棒的左面，如F1 B．总是偏向棒的右面，如F3 C．总是沿着棒的方向，如F2 D．总是垂直于地面向上，如F4
〖点拨〗考查对共点力及其作用下物体平衡条件的理解程度。
〖解析〗选择AB为研究对象，棒受重力G、外力F和地面对B点作用力而静止，所受三力必共点，作出已知力G和F作用线的交点D，棒在B点受到地面的力必过D点，故B正确。
〖答案〗B
归纳：在高中阶段，物体受力平衡，所受的力 要么平行力，要么共点力，物体受到的 任何一个力与其它力的合力大小相等， 方向相反，作用在一条直线上。
针对训练 1．有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可以忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示，现将P环向左移一小段距离。两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO杆对P环的支持力FN和细绳上的拉力T的变化情况是（ ）
A．FN不变，T变大 B．FN不变，T变小 C．FN变大，T变大 D．FN变大，T变小
〖解析〗分析Q环受绳拉力T、重力mg和杆OB对它的正压力N。如图所示，将拉力T沿竖直、水平方向分解，竖直分力Ty=T cos i，当i角由于P
mg环左移而减小时，由于Ty=mg，T=，故T变
cosi小，把P、Q看成一个整体，OA杆对P环的支持力FN=mPg+mQg，故不变。
〖答案〗B
2．如图所示，质量为m的两个球A、B固定在横杆的两端，将其放入光滑的半圆形碗中，杆的长度
等于碗的半径，当杆与碗的竖直半径垂直时，两球刚好能平衡，则杆的作用力为（ ）
A．C．323mg B．mg 333mg D．2mg 2〖解析〗本题考查了物体的平衡和受力分析两个知识点，该题看上去好像是联结体问题，但是只分析一个小球就可以得出结果，小球A的受力分析如图所示，由于杆的长度与碗的半径相等，所以θ角为30°，由受力图可得：
FT=mgtan30°=3mg。 3〖答案〗A
类型二、连接体的平衡
【例题2】如图所示，一条细绳跨过定滑轮连接物体A、B，A悬挂起来，B穿在一根竖直杆上，两物体均保持静止，不计绳与滑轮、B与竖直杆间的摩擦，已知绳与竖直杆间的夹角θ，则物体A、B的质量之比mA∶mB等于（ ）
A．cosθ∶1 B．1∶cosθ C．tanθ∶1 D．1∶sinθ
〖点拨〗本题考查连接体问题。
〖解析〗 B物受力如图所示，B处于平衡态，
mgm1由图可知B=cosθ，所以A?，B正确。
mAgmBcos?〖答案〗B
归纳：连接体问题，若物体处于平衡状态，注
意绳上的力是不变的，分析两物体受力，
依据受力平衡和绳上力不变找出两物体
的质量关系。
针对训练
1．如图所示，轻绳两端分别系有质量为m1和m2的两个小球，m1沿半球形光滑碗面下滑到P点处于平衡，O为球心，C处光滑，∠COP=60°，碗对m1的支持力为N，绳中的力为T，则下列各式中正确的是（ ）
A．N>T B．N=T
C．N=m2g
D．m1=3m2
〖解析〗质量为m1的小球受三个力作用：绳
对它的拉力T，碗对它的支持力N，重力m1g。由质量为m2的小球的受力平衡条件可知T=m2g，受力图如图所示，由几何关系可知，图中三角形OPC应为等边三角形，夹角都为60°，建立水平和竖直方向的坐标系，由平衡条件可知 Tcos 60°=Ncos 60° Tsin 60°+Nsin 60°=m1g 由以上可得：T=N=m2g m2g32+m2g32=m1g
m1=3m2，即选项B、C、D是正确的。
〖答案〗BCD
2．如图所示，由物体A和B组成的系统处于静止状态，A、B的质量分别为mA和mB，且mA＞mB，滑轮的质量和一切摩擦可不计，使绳的悬点由P点向右移动一小段距离到Q点，系统再次到达静止状态，则悬点移动前后图中绳与水平方向间的夹角θ将（ ）
A．变大 B．变小
C．不变 D．可能变大，也可能变小 〖解析〗悬点移动前后，悬绳的拉力大小不变，跨过动滑轮的两部分悬绳的拉力在竖直方向的合力仍等于物体A的重力，故角θ不变。
〖答案〗C
类型三、用相似三角形法解决平衡
【例题3】如图所示，两个质量分别为m、4m的质点A、B之间用轻杆连结，并通过长为L的轻绳挂在光滑的定滑轮上。求：系统平衡时OA、OB段绳长各为多少?
〖点拨〗应用图解法解平衡问题，侧重于数学几何知识在物理上
的应用考查。画出A、B的受力分析图，从几何三角形与力三角形相似中寻找力、边长的关系，以求得边长。
〖解析〗分别选A、B为研究对象，其受力分析如图所示，由图可见力三角形AA1A2和几何三角形OO′A相似，力三角形BB1B2与几何三角形OO′B相似，根据相似三角形对应边成比例得
OO'OAmg?T，OO'OB4mg?T 又OA+OB=L，
联立得OB=15L，OA=45L。
〖答案〗OB=15L OA=45L 归纳：“相似三角形法”，即力的三角形与几 何三角形相似，这两个三角形对应边成 比例，再根据比例关系，求出未知量， 往往有的题用常规方法无法求解时，用 此法可收到事半功倍的效果，对于平衡 问题，“相似三角形”用得较多，给求 解带来了不少方便，要注意巧用该法。 针对训练 1．如图所示，小圆环A吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线其一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后下吊着一个质量为m1的物
块，如果小圆环、滑轮、绳子的质量以及摩擦都忽略不计，绳子又不可伸长，若平衡时弦AB所对应的圆心角为θ，则两物块的质量之比m1∶m2应为（ ）
A．cos
?2 B．sin
?2
C．2sin
?2 D．2sinθ 〖解析〗以小圆环A为研究对象，对其受力分析，设大圆环的半径为R，由三角形相似可得：m1gABmg?R，又AB=2Rsin?2，所以m1?m?2sin2。 22〖答案〗C
2．右图是压榨机的原理示意图，B是固定铰链，A为活动铰链，今在A处施加一水平压力F，滑块C就会以比F大得多的力压物体D，已知图中l=0.5 m，b=0.05 m，F=200 N，C与左壁接触，求D受到的压力多大?(滑块及杆的重力均忽略不计)
〖解析〗本题可以将力F产生的效果沿AB、AC方向分解，然后将AC杆的力再按其效果分解成对左壁的压力和对D的压力从而求得结果，也可以
分别对铰链A和滑块C进行受力分析，运用平衡条件列式求得物体D对C的弹力，然后根据作用力和反作用力求得物体D所受的压力。
〖答案〗解法一：点A除受力F处，还受两杆的支持力F1、F2，如图所示，由点A受力平衡得
F1 sin?=F2 sin?，F2 cos?+F2 cos?=F
得F1=F2=F2cos?
由牛顿第三定律知杆对滑块C的力为
Fc=F1=F2cos?，Fc向下的分量，即对D的压力
为
N=Fcsin?=
F200N0.5m2tan?=2×0.05m=1 000 N。
解法二：取杆AC为研究对象，由解法一知杆
AB对AC的力为FF1=2cos?，
杆在竖直方向受力平衡， 所以N=F1 sin?=
F2tan?=1 000 N 类型四、多个弹簧的平衡
【例题4】如图所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面的木块压在上面的弹簧上(弹簧与木块拴接)，整个系统处于平衡状态，现缓慢地向上提上面的木块，直到下面弹簧刚好对地面无压力，求这个过程中上面木块移动的距离为（ ）
A．m1gk
1B．m2gm1
k k1 1m2
C．m1g+m2gk
k2 2D．
（mm11
1+2)g(k?) 1k2〖点拨〗本题考查弹簧的多过程分析。 〖解析〗由于整个系统处于平衡状态，由k2
弹簧受力可得 k2x1=(m1+m2)g。k1弹簧此时被压缩弹
力是m，被压缩m1g1gk。当k2对地面无压力时，k2
1弹簧恢复原长，即上升m1g+m2gk，k1弹簧恢复原长2并伸长
m2gk，故木块m1移动的距离是1（m11+m2)g(k?1)。故D项正确。 1k2〖答案〗D
归纳：多个弹簧，一般的多过程问题比较复杂。 针对这种情况：首先要分清楚各个弹簧 所处的状态，看清楚问题；其次，要注 意弹簧可能所处的状态，压缩或者伸长。
针对训练
1．三个完全相同的轻弹簧a、b、c连接成如图所示的形式，其中a、b两弹簧间夹角为120°，且a、b对结点处质量为m的小球的作用力均为F，则弹簧c对小球的作用力大小可能为（ ）
A．F B．F+mg C．F-mg D．mg-F
〖解析〗以小球为研究对象，它受到重力和三个弹簧的作用力而处于平衡状态，若a、b两弹簧处于压缩状态，c必然也处于压缩状态，则Fc=mg+2Fcos60°=F+mg；若a、b两弹簧处于拉伸状态，而c处于压缩状态，则有Fc+2Fcos 60°=mg，所以Fc=mg-F；若a、b、c三弹簧都处于拉伸状态，则Fc+mg=2Fcos 60°，所以Fc=F-mg。当F=
12mg时，由Fc=mg-F得Fc=F。
综合上述知：选项A、B、C、D均正确。 〖答案〗ABCD
2．如图所示，质量为m的物体被劲度系数为k2的轻弹簧2悬挂在天花板上，下面还拴着劲度系数为k1的轻弹簧1，托住下面弹簧的端点A用力向上压，当弹簧2
的弹力大小为
mg2时，弹簧1的下端点A上移的高度是多少?
〖解析〗当弹簧2处于伸长状态时，m受力如图甲
9_共点力作用下物体的平衡
