列不定方程解应用题
教学目标
1、 熟练掌握不定方程的解题技巧
2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程 3、 学会解不定方程的经典例题
知识精讲
一、知识点说明 历史概述
不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．
考点说明
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、运用不定方程解应用题步骤
1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 2、根据解不定方程方法解方程 3、找到符合条件的解
模块一、不定方程与数论
【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这
两个数．
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x和13y，则有：11x?13y?2001，要让x取最小值，y取最大值．
2001?11x13?153?12?13x?2x12?2x12?2x可把式子变形为：y?，可见是整数，??153?x?13131313满足这一条件的x最小为7，且当x?7时，y?148． 则拆成的两个数分别是7?11?77和148?13?1924．
【答案】则拆成的两个数分别是77和1924．
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【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：
甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设甲搬的是18x块，乙搬的是23y块．那么18x?23y?300．观察发现18x和300都是6的倍数，所
以y也是6的倍数．由于y?300?23?13，所以y只能为6或12． y?6时18x?162，得到x?9；
y?12时18x?24，此时x不是整数，矛盾．
所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．
【答案】甲比乙搬得多，多24块
【巩固】 现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？ 【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设5角和8角的邮票分别有x张和y张，那么就有等量关系：5x?8y?47．
尝试y的取值，当y取4时，x能取得整数3，当y再增大，取大于等于6的数时，x没有自然数解．所以8角的邮票需要4张．
【答案】8角的邮票需要4张
【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为
___________________.
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】北大附中，资优博雅杯
【解析】 若是四位数abcd，则16??a?b?c?d?≤16?36<1000，矛盾，四位以上的自然数也不可能。 若是两位数ab，则16??a?b??10a?b?ab，也不可能，故只有三位数abc. 16??a?b?c??100a?10b?c，化简得28a?2b?5c.由于2b?5c?7?9?63， 所以a?1或b?2.a?1时，b?9，c?2，或b?4，c?4；a?2时，b?8，c?8. 所以所有自然数之和为192?144?288?624. 【答案】所有满足条件的自然数之和为624
模块二、不定方程与应用题
【例 3】 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油
桶．问：大、小油桶各几个？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设有大油桶x个，小油桶y个．由题意得：
8x?5y?44
可知8x?44，所以x?0、1、2、3、4、5．由于x、y必须为整数，所以相应的将x的所有可能值代入方程，可得x?3时，y?4这一组整数解． 所以大油桶有3个，小油桶有4个．
小结：这道题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解.
【答案】大油桶有3个，小油桶有4个
【例 4】 在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各
命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设丁丁和冬冬分别命中了x次和y次，则：5x?4y?31．可见x除以4的余数为3，而且x不能超过
6，所以x?3，y?4．即丁丁命中了3次，冬冬命中了4次．
【答案】丁丁命中了3次，冬冬命中了4次
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【巩固】 某人打靶，8发共打了53环，全部命中在10环、7环和5环上．问：他命中10环、7环和5环各几
发？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
(1)?x?y?z?8【解析】 假设命中10环x发，7环y发，5环z发，则?由⑵可知7y除以5的余数为
10x?7y?5z?53?(2)?3，所以y?4、9……如果y为9，则7y?63?53，所以y只能为4，代入原方程组可解得x?1，所z?3．
以他命中10环1发，7环4发，5环3发．
【答案】命中10环1发，7环4发，5环3发
1【例 5】 某次聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在有的成人各
3带一个孩子，总共收了2160元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
1【解析】 设参加的男宾有x人，女宾有y人，则由题意得方程：130x?100y??x?y??60?2160，即
3?x?4?x?8?x?12?x?0，?，?和?， 150x?120y?2160，化简得5x?4y?72．这个方程有四组解：?y?13y?8y?3y?18????1但是由于有的成人带着孩子，所以x?y能被3整除，检验可知只有后两组满足．
311所以，这个活动共有12?3???12?3??20人或18??18?24人参加．
33【答案】这个活动共有20人或24人参加
1【巩固】 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工
3每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
1【解析】 因为有的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是3的倍数．设男职工有x人，女职工有y人．
3x?y则职工总人数是?x?y?人，孩子是人．得到方程：13x?10y??x?y??3?6?216，化简得：
35x?4y?72．因为男职工与女职工的人数都是整数，所以当y?3时，x?12；当y?8时，x?8；当y?13，x?4．其中只有3?12?15是3的倍数，符合题意，所以其中有12名男职工．
【答案】其中有12名男职工
【例 6】 张师傅每天能缝制3件上衣，或者9件裙裤，李师傅每天能缝制2件上衣，或者7件裙裤，两人20天共缝制上衣和裙裤134件，那么其中上衣是多少件？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如果20天都缝制上衣，共可缝制?3?2??20?100件，实际上比这多缝制了134?100?34件，这就要把上衣换成裙裤，张师傅每天可多换9?3?6件，李师傅每天可多换7?2?5件，设张师傅缝制裙裤
x天，李师傅缝制裙裤y天，则：6x?5y?34，整数解只有x?4，y?2． 因此共缝制裙裤9?4?7?2?50件，上衣共134?50?84件．
【答案】上衣共84件
【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗
叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声，晚上见面共叫5声．设在这15天内早晨见面x次，晚上见面y3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 3 of 21
次．根据题意有：3x?5y?61(x≤15，y≤15)．
可以凑出，当x?2时，y?11；当x?7时，y?8；当x?12时，y?5．
因为小花狗共叫了2?x?y? 声，那么?x?y?越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以
当x?12，y?5时波斯猫叫得最少，共叫了1?12?3?5?27(声)．
【答案】叫了27声
【例 7】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个B配件组成．甲每天生产300个A配件，
或生产150个B配件；乙每天生产120个A配件，或生产48个B配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 假设甲、乙分别有x天和y天在生产A配件，则他们生产B配件所用的时间分别为(10?x)天和
(10?y)天，那么10天内共生产了A配件(300x?120y)个，共生产了B配件
150?(10?x)?48?(10?y)?1980?150x?48y个．要将它们配成套，A配件与B配件的数量应相等，
330?28y即300x?120y?1980?150x?48y，得到75x?28y?330，则x?．
75330?28y此时生产的产品的套数为300x?120y?300??120y?1320?8y，要使生产的产品最多，就
75要使得y最大，而y最大为10，所以最多能生产出1320?8?10?1400套产品．
【答案】最多能生产出1400套产品
【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上
衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x天和y天，则他们用于生产裤子的天数分别为
(21?x)天和(21?y)天，那么总共生产了上衣(16x?18y)件， 生产了裤子20?(21?x)?24?(21?y)?924?20x?24y件．
根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以16x?18y?924?20x?24y，即6x?7y?154，即
154?7y154?7y22．那么共生产了16x?18y?16?x??18y?410?y套衣服． 6633要使生产的衣服最多，就要使得y最小，则x应最大，而x最大为21，此时y?4．故最多可以生产
22出410??4?408套衣服．
33【答案】最多可以生产出408套衣服
【例 8】 有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成，现在由
甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了 天．
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设完成这项工程用了a天，其间丙休息了b天．
11?1591?1??a?b?1，根据题意可知：??a?b?1，化简得59a?15b?720．
4872048?363048?由上式，因为15b与720都是15的倍数，所以59a必须是15的倍数，所以a是15的倍数，在a?b 的条件下，只有a?15，b?11一组解，即丙休息了11天．
【答案】丙休息了11天
【例 9】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了5辆大巴车和3辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为x人和y人，那么有：5x?3y?306．由于知道中巴车的载
客人数，也就是知道了y的取值范围，所以应该从y入手．显然3y被5除所得的余数与306被5除
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所得的余数相等，从个位数上来考虑，3y的个位数字只能为1或6，那么当y的个位数是2或7时成立．由于y的值在20与25之间，所以满足条件的y?22，继而求得x?48，所以大巴车的载客人数为48人．
【答案】大巴车的载客人数为48人
【巩固】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了7辆大巴车和2辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．
【解析】 设大巴车和中巴车的载客人数分别为x人和y人，那么有：7x?2y?306．
考虑等式两边除以7的余数，由于306被7除余5，所以2y被7除余5，符合条件的y有：6、13、20、27，所以y?20，继而求得x?38，所以大巴车的载客人数为38人．
【答案】大巴车的载客人数为38人
【巩固】 每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人．现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装
满，需要大、小汽车各几辆？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设需要大、小汽车分别为x辆、y辆，则有：54x?36y?378，可化为3x?2y?21．
可以看出y是3的倍数，又不超过10，所以y可以为0、3、6或9，将y?0、3、6、9分别代入可?x?1?x?3?x?5?x?7知有四组解：?；或?；或?；或?
y?9y?6y?3y?0????即需大汽车1辆，小汽车9辆；或大汽车3辆，小汽车6辆；或大汽车5辆，小汽车3辆；或大汽车7辆．
【答案】大汽车1辆，小汽车9辆；或大汽车3辆，小汽车6辆；或大汽车5辆，小汽车3辆；或大汽车7
辆
【巩固】 小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡
兔共24条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这是一道鸡兔同笼问题，但由于已知鸡兔腿的总数，而不是鸡兔腿数的差，所以用不定方程求解．
设小峰养了x只兔子和y只鸡，由题意得：
4x?2y?24
即：2x?y?12，y?12?2x
这是一个不定方程，其可能整数解如下表所示：
x 0 3 1 2 y 10 8 6 12
4 4 5 2 6 0 由题意x?y，且x，y均不为0，所以x?5，y?2，也就是兔有5只，鸡有2只．
【答案】兔有5只，鸡有2只
【例 10】 一个家具店在1998年总共卖了213张床．起初他们每个月卖出25张床，之后每个月卖出16张床，
最后他们每个月卖出20张床．问：他们共有多少个月是卖出25张床？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】香港保良局亚洲区城市小学数学邀请赛 【解析】 设卖出25、16、20张床的月份分别为x、y、z个月，则： (1)?x?y?z?12 ?25x?16y?20z?213(2)?由⑴得y?12?x?z，代入⑵得9x?4z?21． 显然这个方程的正整数解只有x?1，z?3． 所以只有1个月是卖出25张床的．
【答案】只有1个月是卖出25张床的
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【例 11】 五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组．若参加A组
的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有_______人．
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】希望杯，二试 【解析】 设参加B组的有x人，参加C组、D组的有y人，则x?y?4，
由题知15?x?2y?4?36，整理得x?2y?17；
由于y?4，若y?5，得x?7，满足题意；若y?6，则x?5，与x?y矛盾； 所以只有x?7，y?5符合条件，故参加B组的有7人．
【答案】参加B组的有7人
【例 12】 将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组．已知甲乙丙的平均年龄分为37，23，41.甲
乙两组人合起来的平均年龄为29；乙丙两组人合起来的平均年龄为33．则这一群人的平均年龄为 .
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】我爱数学夏令营 【解析】 设甲乙丙三组分别有x，y，z人，依提议有： ?⑴?37x?23y?29?x?y? ?⑵ ??23y?41z?33?y?z? 由⑴化简可得x:y?3:4，由⑵化简可得y:z?4:5，所以x:y:z?3:4:5；
因此，这一群人的平均年龄为
37?3?23?4?41?5?34．
3?4?5【答案】34
【例 13】 14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，小号钢珠每个重
5克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
(1)?x?y?z?14【解析】 设大、中、小号钢珠分别有x个，y个和z个，则：? (2)?(1)?5，得
12x?8y?5z?100?(2)?可见7x是3的倍数，又是7的倍数，且小于30，所以只能为21，故x?3，代入得y?3，7x?3y?30．
z?8．所以大、中、小号钢珠分别有3个、3个和8个．
【答案】大、中、小号钢珠分别有3个、3个和8个
【巩固】 袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是43．问：
小明最多摸出几个标有数字2的球？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设小明摸出标有数字2，3和5的球分别为x，y，z个，于是有
?x?y?z?12??2x?3y?5z?43??(1) (2)由5?(1)?(2)，得3x?2y?17(3)，
由于x，y都是正整数，因此在⑶中，y取1时．x取最大值5， 所以小明最多摸出5个标有数字2的球．
【答案】最多摸出5个标有数字2的球
【例 14】 公鸡1只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，买鸡100只，问公鸡、母鸡、小
鸡各买几只？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
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?x?y?z?100①?【解析】 设买公鸡、母鸡、小鸡各x、y、z只，根据题意，得方程组 ?由②?3?①，15x?3y?z?100②?3?200?14x7得14x?8y?200，即：y??25?x，因为x、y为正整数，所以不难得出x应为4的倍
84数，故x只能为4、8、12，从而相应y的值分别为18、11、4，相应z的值分别为78、81、84．所
?x?4?x?8?x?12???以，方程组的特殊解为?y?18，?y?11，?y?4，所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买4只、18只、78?z?78?z?81?z?84???只或8只、11只、81只或12只、4只、84只．
【答案】公鸡、母鸡、小鸡应分别买4只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只
【巩固】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分．小明共套了10次，每
次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分．问：小明至多套中小鸡几次？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设套中小鸡x次，套中小猴y次，则套中小狗(10?x?y)次．根据得61分可列方程：
9x?5y?2?(10?x?y)?61，化简后得7x?41?3y．显然y越小，x越大． 将y?1代入得7x?38，无整数解；若y?2，7x?35，解得x?5，所以小明至多套中小鸡5次．
【答案】小明至多套中小鸡5次
【例 15】 开学前，宁宁拿着妈妈给的30元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支4元，铅笔每支3元．宁宁买完
两种笔后把钱花完．请问：她一共买了几支笔？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (法一)由于题中圆珠笔与铅笔的数量都不知道，但总费用已知，所以可以根据不定方程分析两种笔
的数量，进而得解．设她买了x支圆珠笔，y支铅笔，由题意列方程：4x?3y?30，所以3y?30?4x，
4x因为x、y均为整数，所以x应该能被3整除，又因为1?x?7，所以x?3或6，当x?3时，y?10?3y?6，x?y?9，当x?6时，y?2，x?y?8，宁宁共买了9支笔或8支笔． (法二)换个角考虑：将“一支圆珠笔和一支铅笔”看成一对，分析宁宁可能买了几对笔，不妨设为m对，
余下的一定是圆珠笔与铅笔中的唯一一种．一对笔的售价为“4?3?7元，由题意可知，1?m?4，又m为整数
（1） 当m?1时，余款为30?7?23，不能被3或4整除，这种情况不可能；
（2） 当m?2时，余款为30?2?7?16，能被4整除，也就是说配对后，余下4支圆珠笔．此时，
宁宁买了6支圆珠笔，2支铅笔，共8支笔．
（3） 当m?3时，余款为30?3?7?9，能被3整除，也就是说配对后，余下3支圆珠笔．此时，
宁宁买了3支圆珠笔，6支铅笔，共9支笔．
（4） 当m?4时，余款为30?4?7?2，不能被3或4整除，这种情况不可能，由上面的分析可
知，宁宁共买了9支笔或8支笔．
【答案】宁宁共买了9支笔或8支笔
【巩固】 小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而
且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔多少支．
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，预赛 【解析】 设买5分一支的铅笔m支，7分一支的铅笔n支．则：5?m?7?n?64，64?7?n是5的倍数．用
n?0，1，2，3，4，5，6，7，8代入检验，只有n?2，7满足这一要求，得出相应的m?10，3．即小华买铅笔10?2?12支，小强买铅笔7?3?10支，小华比小强多买2支．
【答案】小华比小强多买2支
3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 7 of 21
【例 16】 蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有100名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确
定了参加决赛的人选．已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的12.5%，而且比参加初赛的男选手的人数多．参加决赛的男、女选手各有多少人？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数，占初赛时
女选手人数的12.5%，所以参加初赛的男选手人数应是5的倍数，参加初赛的女选手的人数应是8的倍数．
设参加初赛的男生为5x人，参加初赛的女生为8y人． 根据题意可列方程：5x?8y?100． ?x?12?x?4解得?，或?．
y?5y?10??又因为参加决赛的女选手的人数，比参加决赛的男选手的人数多，也就是y要比x大，所以第一组解不合适，只有x?4，y?10满足．
故参加决赛的男选手为4人，女选手为10人．
【答案】男选手为4人，女选手为10人
23【巩固】 今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有是坏的，其他是好的；乙班分到的桃有
916是坏的，其他是好的．甲、乙两班分到的好桃共有几个？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 甲班分到的桃是9的倍数，乙班分到的桃是16的倍数，假设甲班分到桃9x个，乙班分到桃16y个．于
是：9x?16y?95，解得x?7，y?2，即甲班分到桃9?7?63(个)，乙班分到桃16?2?32(个)．所
23以，两班共分到好桃63?(1?)?32?(1?)?75 (个)．
916【答案】两班共分到好桃75个
【例 17】 甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的2倍；
如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的3倍．甲、乙两人共有多少粒糖？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设甲、乙原有糖分别为x粒、y粒，甲给乙的数量为z粒，则依题意有： (1)?x?z?2(y?z)?x?20?x?2y?3z?0，且．整理得 ???x?z?3(y?z)y?20x?3y?4z?0(2)???由⑴得x?2y?3z，代入⑵得7z?y?0，即y?7z． 因y?20，故z?1或z?2．
若z?2，则y?14，x?2?14?3?2?34?20，不合题意．
因而z?1，对应方程组有唯一解x?17，y?7，z?1．则甲、乙共有糖17?7?24粒．
【答案】甲、乙共有糖24粒
【巩固】 有两小堆砖头，如果从第一堆中取出100块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍．如果
相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的6倍．问：第一堆中的砖头最少有多少块？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设第一堆砖有x块，则根据第一个条件可得第二堆砖有?2x?300?块．
再设从第二堆中取出y块放在第一堆后，第一堆将是第二堆的6倍，可列方程： x?y?6??2x?300?y?，化简得7y?1800?11x，
7y?7． 11因为x是整数，7与11互质，所以?y?1?应是11的倍数，y最小是10，推知x最小是那么x??7y?1800??11?163?3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 8 of 21
11【答案】第一堆中的砖头最少有170块
【例 18】 甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册，
乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各卷4册，6人各捐7册，其余各捐9册。已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，各班捐书总数在400册与550册之间，问各班各有多少人？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，复赛 【解析】 我们设甲班有x人，乙班有y人，丙班有z人，那么三个班的捐书数目分别为：
11(x?3)?6?7?7?11x?13， 10(y?4)?6?8?3?10y?10， 9(z?8)?4?2?7?6?9z?22，
163?7??10?1??163?7?170，所以，第一堆中的砖头最少有170块．
根据题意有：
11x?13??10y?10??2810y?10?(9z?22)?101，即有
11x?10y?3110y?9z?89
又因为各班的捐书数目都在400到550之间，因此我们知道：捐书最多的甲班有11x?13?550，而捐书最少的丙班有9z?22?400，从而有563?11x?10y?31??9z?89??31?422?89
?31?542，于是有52?x?49，所以有x?50或51。经检验，当x?50时，y不是整数，而当x?51时，有y?53,z?49，也就是说，甲乙丙三班人数分别为51，53，49。
【答案】甲乙丙三班人数分别为51，53，49
【例 19】 在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、
11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中 次飞镖．
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，高年级组，复赛 【解析】 假设投中17分、11分、4分的次数分别为x次、y次和z次，那么投中飞镖的总次数为?x?y?z?次，
而总得分为17x?11y?4z分，要想获奖，必须17x?11y?4z?120．
由于17x?120，得到x?6．当x的值一定后，要使?x?y?z?最小，必须使y尽可能大． 若x?6，得到11y?4z?18，此时无整数解；
若x?5，得到11y?4z?35，此时y?1，z?6，x?y?z?5?1?6?12；
若x?4，得到11y?4z?52，此时y最大为4，当y?4时z?2，这种情况下x?y?z?10； 若x?3，得到11y?4z?69，此时y?3，z?9，x?y?z?3?3?9?15；
若x?2，得到11y?4z?86，此时y最大为6，当y?6时z?5，这种情况下x?y?z?13； 若x?1，得到11y?4z?103，此时y最大为9，当y?9时z?1，这种情况下x?y?z?11； 若x?0，得到11y?4z?120，此时y最大为8，当y?8时z?8，这种情况下x?y?z?16． 经过比较可知?x?y?z?的值最小为10，所以至少需要投中10次飞镖才能获奖．
【答案】至少需要投中10次飞镖才能获奖
模块三、不定方程与生活中的应用题
3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 9 of 21
【例 20】 某地用电收费的标准是：若每月用电不超过50度，则每度收5角；若超过50度，则超出部分按每
度8角收费．某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 3元3角即33角，因为33既不是5的倍数又不是8的倍数，所以甲、乙两用户用电的情况一定是一
个超过了50度，另一个则没有超过．由于甲用户用电更多，所以甲用户用电超过50度，乙用户用电不足50度．设这个月甲用电?50?x?度，乙用电?50?y?度．因为甲比乙多交33角电费，所以有8x?5y?33．容易看出x?1，y?5，可知甲用电51度，乙用电45度．
【答案】甲用电51度，乙用电45度
【巩固】 某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度
而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分按每度1.50元收费．某月甲用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元？(用电都按整度数收费)
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于丙交的电费最少，而且是求甲、乙电费的关键，先分析一下他的用电度数．因为乙用户比丙用
户多交3.75元，所以二者中必有一个用电度数小于10度(否则差中不会出现0.05元)，丙用电少，所以丙用电度数小于10度，乙用电度数大于10度，但是不会超过20度(否则甲、乙用电均超过20度，其电费差应为1.50的整数倍，而不会是7.10元)． 设丙用电(10?x)度，乙用电(10?y)度，由题意得：
0.45x?0.8y?3.75
9x?16y?75
9x?75?16y
75?16y 9所以y是3的倍数，又x,y均为整数，且都大于0小于10
x?75?16?3?3 9所以丙用电10?3?7度，交电费0.45?7?3.15元；乙交电费3.15?3.75?6.90元，甲交电费6.90?7.10?14.00元，三户共交电费3.15?6.90?14.00?24.05元．
【答案】三户共交电费24.05元
【例 21】 马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给
他薪金350元．年终，马小富从两家公司共获薪金7620元．他在甲公司打工 个月，在乙公司兼职 个月．
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设马小富在甲公司打工a月，在乙公司兼职b月(a?b，a、b都是不大于12的自然数)，则有
470a?350b?7620，化简得47a?35b?762．若b为偶数，则35b的末位数字为0，从而47a的末位
480数字必为2，这时a?6．但a?6时，b?不是整数，不合题意，所以b必为奇数．b为奇数时，
3535b的末位数字为5，从而47a的末位数字为7，a?1或a?11．但a?1时容易看出a?b，与a?b矛盾．所以，a?11，代入得b??762?47?11??35?7．
所以y?3，x?于是马小富在甲公司打工11个月，在乙公司兼职7个月．
【答案】在甲公司打工11个月，在乙公司兼职7个月
【例 22】 甲、乙、丙、丁、戊五人接受了满分为10分(成绩都是整数)的测验．已知：甲得了4分，乙得了最
高分，丙的成绩与甲、丁的平均分相等，丁的成绩刚好等于五人的平均分，戊比丙多2分．求乙、丙、丁、戊的成绩．
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
x?4【解析】 法一：方程法． 设丁的分数为x分，乙的分数为y分，那么丙的分数为分，戊的分数为
23-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 10 of 21
x?4x?8x?4x?8分，根据“丁的成绩刚好等于五人的平均分”，有5x?4?x??2???y，所以
2222203x?10?y．因为x?y≤10，所以3x?10?y≤10?10?20，3x?10?y?10?x，得到5?x≤，
3故x?6，代入得y?8．所以丁得6分，丙得5分，戊得7分，乙得8分．
法二：推理法．因为丁为五人的平均分，所以丁不是成绩最低的；丙的成绩与甲、丁的平均分相等，所以丙在甲与丁之间；又因为戊和乙都比丙的成绩高，所以乙、丙、丁、戊都不是最低分，那么甲的成绩是最低的．因为甲是4分，所以丁可能是6分或8分(由丙的成绩与甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶数)，经检验丁得8分时与题意不符，所以丁得6分，则丙得5分，戊得7分，乙得8分．
【答案】丁得6分，则丙得5分，戊得7分，乙得8分
【巩固】 有两个学生参加4次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数．他们又参加了第5
次测验，这样5次的平均分数都提高到了90分．求第5次测验两人的得分．(每次测验满分为100分)
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设某一学生前4次的平均分为x分，第5次的得分为y分，则其5次总分为4x?y?90?5?450，于
是y?450?4x．显然90?y≤100，故90?450?4x≤100，解得87.5≤x?90．
由于x为整数，可能为88和89，而且这两个学生前4次的平均分不同，所以他们前4次的平均分分别为88分和89分，那么他们第5次的得分分别为：450?88?4?98分；450?89?4?94分．
【答案】第5次的得分分别为：450?88?4?98分；450?89?4?94分
【例 23】 小明、小红和小军三人参加一次数学竞赛，一共有100道题，每个人各解出其中的60道题，有些
题三人都解出来了，我们称之为“容易题”；有些题只有两人解出来，我们称之为“中等题”；有些题只有一人解出来，我们称之为“难题”．已知每个题都至少被他们中的一人解出，则难题比容易题多 道．
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】填空
(1)?x?y?z?100【解析】 设容易题、中等题和难题分别有x道、y道、z道，则?，由(1)?2?(2)得
3x?2y?z?180(2)?2x?2y?2z?(3x?2y?z)?200?180，即z?x?20，所以难题比容易题多20道．
【答案】难题比容易题多20道
【例 24】 甲、乙两个同学在一次数学擂台赛中，试卷上有解答题、选择题、填空题各若干个，而且每个小
题的分值都是自然数．结果公布后，已知甲做对了5道解答题，7道选择题，9道填空题，共得52分；乙做对了7道解答题，9道选择题，11道填空题，共得68分．问：解答题、选择题、填空题的每道小题各多少分？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
?5x?7y?9z?52【解析】 设每道解答题为x分，每道选择题为y分，每道填空题为z分，有?，解得
7x?9y?11z?68?y?2z?6．因为y、z都是自然数，而且不为0，所以有y?2，z?2，或者y?4，z?1．分别代
入原方程解得x?4或者x?3．所以解答题、选择题、填空题的每道小题的分数分别为4分、2分、2分或者3分、4分、1分．
【答案】每道小题的分数分别为4分、2分、2分或者3分、4分、1分
【例 25】 甲乙丙三人参加一个共有30个选择题的比赛，计分办法是在30分的基础上，每答对一题加4分，
答错一题扣1分，不答既不扣分也不加分．赛完后发现根据甲所得总分可以准确算出他答对的题数，乙、丙二人所得总分相同，仅比甲少1分，但乙丙答对的题数却互不相同．由此可知，甲所得总分最多为 ．
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】我爱数学夏令营 【解析】 设乙做对a道题，做错b道题；丙做对m道，做错n道， 则有4a?b?4m?n．4?a?m??b?n，则
有4|b?n．要使得甲总分最高，由于乙丙仅比甲少1分，则乙丙也应尽可能总分最高，从而错题最
3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 11 of 21
少，其他的题全多．若b?4，n?0，则a?m?1，a?26，m?25．此时乙得分为26?4?4?30?130分，丙得分为25?4?0?30?130分，甲得分为130?1?131分．甲扣19分，只能5?3?4?19，别无其他方式，即只能错3题空1题．若b?5，n?1，则a?m?1，a?25，m?24．此时乙得分为25?4?5?30?126分，甲得分为125?1?126分．这种得分不唯一，且得分不是最高，其他情况不可能超过131分．综上所述，甲的总分为131分．
【答案】甲的总分为131分
【例 26】 某男孩在2003年2月16日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差，到今天为止正好就是111．”
请问：他是在哪一天出生的？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设男孩的年龄为x个年和y个月，即12x?y个月，由此有方程式：12x?y?x?111，也就是
1?y1?y，由于0≤y?12而且是整数，所以，y?1，x?10，11x?y?11?10?1，得到x?10?1111从2003年2月16日那天退回10年又1个月就是他的生日，为1993年1月16日．
【答案】1993年1月16日
【例 27】 某次演讲比赛，原定一等奖10人，二等奖20人，现将一等奖中的最后4人调整为二等奖，这样得
二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分．
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设原来一等奖的平均分为x分，二等奖的平均分为y分，得：
10x?(10?4)?(x?3)?(20?4)(y?1)?20y，整理得x?y?10.5，即x?y?10.5， 所以原来一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分． 【答案】一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分
【例 28】 某次数学竞赛准备了35支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给6支，
二等奖每人发给3支，三等奖每人发给2支，后来改为一等奖每人发13支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支．那么获二等奖的有 人．
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 法一：
根据“后来改为一等奖每人发13支”，可以确定获一等奖的人数小于3．否则仅一等奖就要发不少于
39支铅笔，已超过35支，这是不可能的．分别考虑一等奖有2人或者1人的情况：
①获一等奖有2人时，改变后这2人共多得?13?6??2?14支，那么得二等奖和三等奖的共少得了14支铅笔．
由于改变后二等奖多得1支，三等奖少得1支，所以三等奖应比二等奖多14?1?14人，这样他们少得的铅笔数正好是一等奖多得的．但此时三等奖至少14人，他们的铅笔总数至少为
13?2?14?1?40?35，所以这种情况不可能发生．
②获一等奖有1人时，类似前面情况的讨论，可以确定获三等奖的人数比二等奖多
?13?6???2?1??7人，所以获二等奖的有?35?13?7?1???4?1??3(人)．
经检验，获一等奖1人，获二等奖3人，获三等奖10人符合题目要求，所以有3人获二等奖． 法二：
设获一、二、三等奖的人数分别有x人、y人、z人，则有方程组： ?6x?3y?2z?35 ??13x?4y?z?35(1) (2)?x?1由(2)?2?(1)将z消元，则有20x?5y?35，即4x?y?7，显然该方程的正整数解只有?，继
?y?3而可得到z?10．所以获二等奖的有3人．
【答案】获二等奖的有3人
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列不定方程解应用题
教学目标
4、 熟练掌握不定方程的解题技巧
5、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程 6、 学会解不定方程的经典例题
知识精讲
一、知识点说明 历史概述
不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．
考点说明
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、运用不定方程解应用题步骤
1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 2、根据解不定方程方法解方程 3、找到符合条件的解
模块一、不定方程与数论
【例 29】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这
两个数．
【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：
甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？
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【巩固】 现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？
【例 30】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为
___________________.
模块二、不定方程与应用题
【例 31】 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油
桶．问：大、小油桶各几个？
【例 32】 在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各
命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？
【巩固】 某人打靶，8发共打了53环，全部命中在10环、7环和5环上．问：他命中10环、7环和5环各几
发？
1【例 33】 某次聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在有的成人各
3带一个孩子，总共收了2160元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？
3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 14 of 21
1【巩固】 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工
3每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？
【例 34】 张师傅每天能缝制3件上衣，或者9件裙裤，李师傅每天能缝制2件上衣，或者7件裙裤，两人20天共缝制上衣和裙裤134件，那么其中上衣是多少件？
【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗
叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？
【例 35】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个B配件组成．甲每天生产300个A配件，
或生产150个B配件；乙每天生产120个A配件，或生产48个B配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？
【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上
衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？
【例 36】 有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成，现在由
甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了 天．
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【例 37】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了5辆大巴车和3辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．
【巩固】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了7辆大巴车和2辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．
【巩固】 每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人．现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装
满，需要大、小汽车各几辆？
【巩固】 小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡
兔共24条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？
【例 38】 一个家具店在1998年总共卖了213张床．起初他们每个月卖出25张床，之后每个月卖出16张床，
最后他们每个月卖出20张床．问：他们共有多少个月是卖出25张床？
【例 39】 五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组．若参加A组
的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有_______人．
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【例 40】 将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组．已知甲乙丙的平均年龄分为37，23，41.甲
乙两组人合起来的平均年龄为29；乙丙两组人合起来的平均年龄为33．则这一群人的平均年龄为 .
【例 41】 14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，小号钢珠每个重
5克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？
【巩固】 袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是43．问：
小明最多摸出几个标有数字2的球？
【例 42】 公鸡1只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，买鸡100只，问公鸡、母鸡、小
鸡各买几只？
【巩固】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分．小明共套了10次，每
次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分．问：小明至多套中小鸡几次？
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【例 43】 开学前，宁宁拿着妈妈给的30元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支4元，铅笔每支3元．宁宁买完
两种笔后把钱花完．请问：她一共买了几支笔？
【巩固】 小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而
且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔多少支．
【例 44】 蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有100名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确
定了参加决赛的人选．已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的12.5%，而且比参加初赛的男选手的人数多．参加决赛的男、女选手各有多少人？
23【巩固】 今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有是坏的，其他是好的；乙班分到的桃有
916是坏的，其他是好的．甲、乙两班分到的好桃共有几个？
【例 45】 甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的2倍；
如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的3倍．甲、乙两人共有多少粒糖？
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【巩固】 有两小堆砖头，如果从第一堆中取出100块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍．如果
相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的6倍．问：第一堆中的砖头最少有多少块？
【例 46】 甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册，
乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各卷4册，6人各捐7册，其余各捐9册。已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，各班捐书总数在400册与550册之间，问各班各有多少人？
【例 47】 在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、
11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中 次飞镖．
模块三、不定方程与生活中的应用题
【例 48】 某地用电收费的标准是：若每月用电不超过50度，则每度收5角；若超过50度，则超出部分按每
度8角收费．某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？
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【巩固】 某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度
而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分按每度1.50元收费．某月甲用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元？(用电都按整度数收费)
【例 49】 马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给
他薪金350元．年终，马小富从两家公司共获薪金7620元．他在甲公司打工 个月，在乙公司兼职 个月．
【例 50】 甲、乙、丙、丁、戊五人接受了满分为10分(成绩都是整数)的测验．已知：甲得了4分，乙得了最
高分，丙的成绩与甲、丁的平均分相等，丁的成绩刚好等于五人的平均分，戊比丙多2分．求乙、丙、丁、戊的成绩．
【巩固】 有两个学生参加4次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数．他们又参加了第5
次测验，这样5次的平均分数都提高到了90分．求第5次测验两人的得分．(每次测验满分为100分)
【例 51】 小明、小红和小军三人参加一次数学竞赛，一共有100道题，每个人各解出其中的60道题，有些
题三人都解出来了，我们称之为“容易题”；有些题只有两人解出来，我们称之为“中等题”；有些题只有一人解出来，我们称之为“难题”．已知每个题都至少被他们中的一人解出，则难题比容易题多 道．
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【例 52】 甲、乙两个同学在一次数学擂台赛中，试卷上有解答题、选择题、填空题各若干个，而且每个小
题的分值都是自然数．结果公布后，已知甲做对了5道解答题，7道选择题，9道填空题，共得52分；乙做对了7道解答题，9道选择题，11道填空题，共得68分．问：解答题、选择题、填空题的每道小题各多少分？
【例 53】 甲乙丙三人参加一个共有30个选择题的比赛，计分办法是在30分的基础上，每答对一题加4分，
答错一题扣1分，不答既不扣分也不加分．赛完后发现根据甲所得总分可以准确算出他答对的题数，乙、丙二人所得总分相同，仅比甲少1分，但乙丙答对的题数却互不相同．由此可知，甲所得总分最多为 ．
【例 54】 某男孩在2003年2月16日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差，到今天为止正好就是111．”
请问：他是在哪一天出生的？
【例 55】 某次演讲比赛，原定一等奖10人，二等奖20人，现将一等奖中的最后4人调整为二等奖，这样得
二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分．
【例 56】 某次数学竞赛准备了35支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给6支，
二等奖每人发给3支，三等奖每人发给2支，后来改为一等奖每人发13支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支．那么获二等奖的有 人．
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小学竞赛试题 列不定方程解应用题 教师版与学生版 - 图文
