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小学竞赛试题 列不定方程解应用题 教师版与学生版 - 图文

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列不定方程解应用题

教学目标

1、 熟练掌握不定方程的解题技巧

2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程 3、 学会解不定方程的经典例题

知识精讲

一、知识点说明 历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.

考点说明

在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中.在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、运用不定方程解应用题步骤

1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 2、根据解不定方程方法解方程 3、找到符合条件的解

模块一、不定方程与数论

【例 1】 把2001拆成两个正整数的和,一个是11的倍数(要尽量小),一个是13的倍数(要尽量大),求这

两个数.

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这是一道整数分拆的常规题.可设拆成的两个数分别为11x和13y,则有:11x?13y?2001,要让x取最小值,y取最大值.

2001?11x13?153?12?13x?2x12?2x12?2x可把式子变形为:y?,可见是整数,??153?x?13131313满足这一条件的x最小为7,且当x?7时,y?148. 则拆成的两个数分别是7?11?77和148?13?1924.

【答案】则拆成的两个数分别是77和1924.

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【巩固】 甲、乙二人搬砖,甲搬的砖数是18的倍数,乙搬的砖数是23的倍数,两人共搬了300块砖.问:

甲、乙二人谁搬的砖多?多几块?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设甲搬的是18x块,乙搬的是23y块.那么18x?23y?300.观察发现18x和300都是6的倍数,所

以y也是6的倍数.由于y?300?23?13,所以y只能为6或12. y?6时18x?162,得到x?9;

y?12时18x?24,此时x不是整数,矛盾.

所以甲搬了162块,乙搬了138块,甲比乙搬得多,多24块.

【答案】甲比乙搬得多,多24块

【巩固】 现有足够多的5角和8角的邮票,用来付4.7元的邮资,问8角的邮票需要多少张? 【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设5角和8角的邮票分别有x张和y张,那么就有等量关系:5x?8y?47.

尝试y的取值,当y取4时,x能取得整数3,当y再增大,取大于等于6的数时,x没有自然数解.所以8角的邮票需要4张.

【答案】8角的邮票需要4张

【例 2】 用十进制表示的某些自然数,恰等于它的各位数字之和的16倍,则满足条件的所有自然数之和为

___________________.

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】北大附中,资优博雅杯

【解析】 若是四位数abcd,则16??a?b?c?d?≤16?36<1000,矛盾,四位以上的自然数也不可能。 若是两位数ab,则16??a?b??10a?b?ab,也不可能,故只有三位数abc. 16??a?b?c??100a?10b?c,化简得28a?2b?5c.由于2b?5c?7?9?63, 所以a?1或b?2.a?1时,b?9,c?2,或b?4,c?4;a?2时,b?8,c?8. 所以所有自然数之和为192?144?288?624. 【答案】所有满足条件的自然数之和为624

模块二、不定方程与应用题

【例 3】 有两种不同规格的油桶若干个,大的能装8千克油,小的能装5千克油,44千克油恰好装满这些油

桶.问:大、小油桶各几个?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设有大油桶x个,小油桶y个.由题意得:

8x?5y?44

可知8x?44,所以x?0、1、2、3、4、5.由于x、y必须为整数,所以相应的将x的所有可能值代入方程,可得x?3时,y?4这一组整数解. 所以大油桶有3个,小油桶有4个.

小结:这道题在解答时,也可联系数论的知识,注意到能被5整除的数的特点,便可轻松求解.

【答案】大油桶有3个,小油桶有4个

【例 4】 在一次活动中,丁丁和冬冬到射击室打靶,回来后见到同学“小博士”,他们让“小博士”猜他们各

命中多少次.“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5,让冬冬把自己命中的次数乘以4,再把两个得数加起来告诉他,丁丁和冬冬算了一下是31,“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数.你知道丁丁和冬冬各命中几次吗?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设丁丁和冬冬分别命中了x次和y次,则:5x?4y?31.可见x除以4的余数为3,而且x不能超过

6,所以x?3,y?4.即丁丁命中了3次,冬冬命中了4次.

【答案】丁丁命中了3次,冬冬命中了4次

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【巩固】 某人打靶,8发共打了53环,全部命中在10环、7环和5环上.问:他命中10环、7环和5环各几

发?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

(1)?x?y?z?8【解析】 假设命中10环x发,7环y发,5环z发,则?由⑵可知7y除以5的余数为

10x?7y?5z?53?(2)?3,所以y?4、9……如果y为9,则7y?63?53,所以y只能为4,代入原方程组可解得x?1,所z?3.

以他命中10环1发,7环4发,5环3发.

【答案】命中10环1发,7环4发,5环3发

1【例 5】 某次聚餐,每一位男宾付130元,每一位女宾付100元,每带一个孩子付60元,现在有的成人各

3带一个孩子,总共收了2160元,问:这个活动共有多少人参加(成人和孩子)?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

1【解析】 设参加的男宾有x人,女宾有y人,则由题意得方程:130x?100y??x?y??60?2160,即

3?x?4?x?8?x?12?x?0,?,?和?, 150x?120y?2160,化简得5x?4y?72.这个方程有四组解:?y?13y?8y?3y?18????1但是由于有的成人带着孩子,所以x?y能被3整除,检验可知只有后两组满足.

311所以,这个活动共有12?3???12?3??20人或18??18?24人参加.

33【答案】这个活动共有20人或24人参加

1【巩固】 单位的职工到郊外植树,其中有男职工,也有女职工,并且有的职工各带一个孩子参加.男职工

3每人种13棵树,女职工每人种10棵树,每个孩子都种6棵树,他们一共种了216棵树,那么其中有多少名男职工?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

1【解析】 因为有的职工各带一个孩子参加,则职工总人数是3的倍数.设男职工有x人,女职工有y人.

3x?y则职工总人数是?x?y?人,孩子是人.得到方程:13x?10y??x?y??3?6?216,化简得:

35x?4y?72.因为男职工与女职工的人数都是整数,所以当y?3时,x?12;当y?8时,x?8;当y?13,x?4.其中只有3?12?15是3的倍数,符合题意,所以其中有12名男职工.

【答案】其中有12名男职工

【例 6】 张师傅每天能缝制3件上衣,或者9件裙裤,李师傅每天能缝制2件上衣,或者7件裙裤,两人20天共缝制上衣和裙裤134件,那么其中上衣是多少件?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如果20天都缝制上衣,共可缝制?3?2??20?100件,实际上比这多缝制了134?100?34件,这就要把上衣换成裙裤,张师傅每天可多换9?3?6件,李师傅每天可多换7?2?5件,设张师傅缝制裙裤

x天,李师傅缝制裙裤y天,则:6x?5y?34,整数解只有x?4,y?2. 因此共缝制裙裤9?4?7?2?50件,上衣共134?50?84件.

【答案】上衣共84件

【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友,它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候.若是早晨见面,小花狗

叫两声,波斯猫叫一声;若是晚上见面,小花狗叫两声,波斯猫叫三声.细心的小娟对它们的叫声统计了15天,发现它们并不是每天早晚都见面.在这15天内它们共叫了61声.问:波斯猫至少叫了多少声?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声,晚上见面共叫5声.设在这15天内早晨见面x次,晚上见面y3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 3 of 21

次.根据题意有:3x?5y?61(x≤15,y≤15).

可以凑出,当x?2时,y?11;当x?7时,y?8;当x?12时,y?5.

因为小花狗共叫了2?x?y? 声,那么?x?y?越大,小花狗就叫得越多,从而波斯猫叫得越少,所以

当x?12,y?5时波斯猫叫得最少,共叫了1?12?3?5?27(声).

【答案】叫了27声

【例 7】 甲、乙两人生产一种产品,这种产品由一个A配件与一个B配件组成.甲每天生产300个A配件,

或生产150个B配件;乙每天生产120个A配件,或生产48个B配件.为了在10天内生产出更多的产品,二人决定合作生产,这样他们最多能生产出多少套产品?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 假设甲、乙分别有x天和y天在生产A配件,则他们生产B配件所用的时间分别为(10?x)天和

(10?y)天,那么10天内共生产了A配件(300x?120y)个,共生产了B配件

150?(10?x)?48?(10?y)?1980?150x?48y个.要将它们配成套,A配件与B配件的数量应相等,

330?28y即300x?120y?1980?150x?48y,得到75x?28y?330,则x?.

75330?28y此时生产的产品的套数为300x?120y?300??120y?1320?8y,要使生产的产品最多,就

75要使得y最大,而y最大为10,所以最多能生产出1320?8?10?1400套产品.

【答案】最多能生产出1400套产品

【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间,甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件;乙车间每天能生产上

衣18件或裤子24件.现在要上衣和裤子配套,两车间合作21天,最多能生产多少套衣服?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x天和y天,则他们用于生产裤子的天数分别为

(21?x)天和(21?y)天,那么总共生产了上衣(16x?18y)件, 生产了裤子20?(21?x)?24?(21?y)?924?20x?24y件.

根据题意,裤子和上衣的件数相等,所以16x?18y?924?20x?24y,即6x?7y?154,即

154?7y154?7y22.那么共生产了16x?18y?16?x??18y?410?y套衣服. 6633要使生产的衣服最多,就要使得y最小,则x应最大,而x最大为21,此时y?4.故最多可以生产

22出410??4?408套衣服.

33【答案】最多可以生产出408套衣服

【例 8】 有一项工程,甲单独做需要36天完成,乙单独做需要30天完成,丙单独做需要48天完成,现在由

甲、乙、丙三人同时做,在工作期间,丙休息了整数天,而甲和乙一直工作至完成,最后完成这项工程也用了整数天,那么丙休息了 天.

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设完成这项工程用了a天,其间丙休息了b天.

11?1591?1??a?b?1,根据题意可知:??a?b?1,化简得59a?15b?720.

4872048?363048?由上式,因为15b与720都是15的倍数,所以59a必须是15的倍数,所以a是15的倍数,在a?b 的条件下,只有a?15,b?11一组解,即丙休息了11天.

【答案】丙休息了11天

【例 9】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然,热爱大自然”活动,所有的学生和老师共306人恰好坐满了5辆大巴车和3辆中巴车,已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间,求每辆大巴车的载客人数.

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为x人和y人,那么有:5x?3y?306.由于知道中巴车的载

客人数,也就是知道了y的取值范围,所以应该从y入手.显然3y被5除所得的余数与306被5除

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所得的余数相等,从个位数上来考虑,3y的个位数字只能为1或6,那么当y的个位数是2或7时成立.由于y的值在20与25之间,所以满足条件的y?22,继而求得x?48,所以大巴车的载客人数为48人.

【答案】大巴车的载客人数为48人

【巩固】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然,热爱大自然”活动,所有的学生和老师共306人恰好坐满了7辆大巴车和2辆中巴车,已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间,求每辆大巴车的载客人数.

【解析】 设大巴车和中巴车的载客人数分别为x人和y人,那么有:7x?2y?306.

考虑等式两边除以7的余数,由于306被7除余5,所以2y被7除余5,符合条件的y有:6、13、20、27,所以y?20,继而求得x?38,所以大巴车的载客人数为38人.

【答案】大巴车的载客人数为38人

【巩固】 每辆大汽车能容纳54人,每辆小汽车能容纳36人.现有378人,要使每个人都上车且每辆车都装

满,需要大、小汽车各几辆?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设需要大、小汽车分别为x辆、y辆,则有:54x?36y?378,可化为3x?2y?21.

可以看出y是3的倍数,又不超过10,所以y可以为0、3、6或9,将y?0、3、6、9分别代入可?x?1?x?3?x?5?x?7知有四组解:?;或?;或?;或?

y?9y?6y?3y?0????即需大汽车1辆,小汽车9辆;或大汽车3辆,小汽车6辆;或大汽车5辆,小汽车3辆;或大汽车7辆.

【答案】大汽车1辆,小汽车9辆;或大汽车3辆,小汽车6辆;或大汽车5辆,小汽车3辆;或大汽车7

【巩固】 小伟听说小峰养了一些兔和鸡,就问小峰:“你养了几只兔和鸡?”小峰说:“我养的兔比鸡多,鸡

兔共24条腿.”那么小峰养了多少兔和鸡?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这是一道鸡兔同笼问题,但由于已知鸡兔腿的总数,而不是鸡兔腿数的差,所以用不定方程求解.

设小峰养了x只兔子和y只鸡,由题意得:

4x?2y?24

即:2x?y?12,y?12?2x

这是一个不定方程,其可能整数解如下表所示:

x 0 3 1 2 y 10 8 6 12

4 4 5 2 6 0 由题意x?y,且x,y均不为0,所以x?5,y?2,也就是兔有5只,鸡有2只.

【答案】兔有5只,鸡有2只

【例 10】 一个家具店在1998年总共卖了213张床.起初他们每个月卖出25张床,之后每个月卖出16张床,

最后他们每个月卖出20张床.问:他们共有多少个月是卖出25张床?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】香港保良局亚洲区城市小学数学邀请赛 【解析】 设卖出25、16、20张床的月份分别为x、y、z个月,则: (1)?x?y?z?12 ?25x?16y?20z?213(2)?由⑴得y?12?x?z,代入⑵得9x?4z?21. 显然这个方程的正整数解只有x?1,z?3. 所以只有1个月是卖出25张床的.

【答案】只有1个月是卖出25张床的

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【例 11】 五年级一班共有36人,每人参加一个兴趣小组,共有A、B、C、D、E五个小组.若参加A组

的有15人,参加B组的人数仅次于A组,参加C组、D组的人数相同,参加E组的人数最少,只有4人.那么,参加B组的有_______人.

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】希望杯,二试 【解析】 设参加B组的有x人,参加C组、D组的有y人,则x?y?4,

由题知15?x?2y?4?36,整理得x?2y?17;

由于y?4,若y?5,得x?7,满足题意;若y?6,则x?5,与x?y矛盾; 所以只有x?7,y?5符合条件,故参加B组的有7人.

【答案】参加B组的有7人

【例 12】 将一群人分为甲乙丙三组,每人都必在且仅在一组.已知甲乙丙的平均年龄分为37,23,41.甲

乙两组人合起来的平均年龄为29;乙丙两组人合起来的平均年龄为33.则这一群人的平均年龄为 .

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】我爱数学夏令营 【解析】 设甲乙丙三组分别有x,y,z人,依提议有: ?⑴?37x?23y?29?x?y? ?⑵ ??23y?41z?33?y?z? 由⑴化简可得x:y?3:4,由⑵化简可得y:z?4:5,所以x:y:z?3:4:5;

因此,这一群人的平均年龄为

37?3?23?4?41?5?34.

3?4?5【答案】34

【例 13】 14个大、中、小号钢珠共重100克,大号钢珠每个重12克,中号钢珠每个重8克,小号钢珠每个重

5克.问:大、中、小号钢珠各有多少个?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

(1)?x?y?z?14【解析】 设大、中、小号钢珠分别有x个,y个和z个,则:? (2)?(1)?5,得

12x?8y?5z?100?(2)?可见7x是3的倍数,又是7的倍数,且小于30,所以只能为21,故x?3,代入得y?3,7x?3y?30.

z?8.所以大、中、小号钢珠分别有3个、3个和8个.

【答案】大、中、小号钢珠分别有3个、3个和8个

【巩固】 袋子里有三种球,分别标有数字2,3和5,小明从中摸出12个球,它们的数字之和是43.问:

小明最多摸出几个标有数字2的球?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设小明摸出标有数字2,3和5的球分别为x,y,z个,于是有

?x?y?z?12??2x?3y?5z?43??(1) (2)由5?(1)?(2),得3x?2y?17(3),

由于x,y都是正整数,因此在⑶中,y取1时.x取最大值5, 所以小明最多摸出5个标有数字2的球.

【答案】最多摸出5个标有数字2的球

【例 14】 公鸡1只值钱5,母鸡一只值钱3,小鸡三只值钱1,今有钱100,买鸡100只,问公鸡、母鸡、小

鸡各买几只?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

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?x?y?z?100①?【解析】 设买公鸡、母鸡、小鸡各x、y、z只,根据题意,得方程组 ?由②?3?①,15x?3y?z?100②?3?200?14x7得14x?8y?200,即:y??25?x,因为x、y为正整数,所以不难得出x应为4的倍

84数,故x只能为4、8、12,从而相应y的值分别为18、11、4,相应z的值分别为78、81、84.所

?x?4?x?8?x?12???以,方程组的特殊解为?y?18,?y?11,?y?4,所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买4只、18只、78?z?78?z?81?z?84???只或8只、11只、81只或12只、4只、84只.

【答案】公鸡、母鸡、小鸡应分别买4只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只

【巩固】 小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分.小明共套了10次,每

次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次,小明套10次共得61分.问:小明至多套中小鸡几次?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设套中小鸡x次,套中小猴y次,则套中小狗(10?x?y)次.根据得61分可列方程:

9x?5y?2?(10?x?y)?61,化简后得7x?41?3y.显然y越小,x越大. 将y?1代入得7x?38,无整数解;若y?2,7x?35,解得x?5,所以小明至多套中小鸡5次.

【答案】小明至多套中小鸡5次

【例 15】 开学前,宁宁拿着妈妈给的30元钱去买笔,文具店里的圆珠笔每支4元,铅笔每支3元.宁宁买完

两种笔后把钱花完.请问:她一共买了几支笔?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (法一)由于题中圆珠笔与铅笔的数量都不知道,但总费用已知,所以可以根据不定方程分析两种笔

的数量,进而得解.设她买了x支圆珠笔,y支铅笔,由题意列方程:4x?3y?30,所以3y?30?4x,

4x因为x、y均为整数,所以x应该能被3整除,又因为1?x?7,所以x?3或6,当x?3时,y?10?3y?6,x?y?9,当x?6时,y?2,x?y?8,宁宁共买了9支笔或8支笔. (法二)换个角考虑:将“一支圆珠笔和一支铅笔”看成一对,分析宁宁可能买了几对笔,不妨设为m对,

余下的一定是圆珠笔与铅笔中的唯一一种.一对笔的售价为“4?3?7元,由题意可知,1?m?4,又m为整数

(1) 当m?1时,余款为30?7?23,不能被3或4整除,这种情况不可能;

(2) 当m?2时,余款为30?2?7?16,能被4整除,也就是说配对后,余下4支圆珠笔.此时,

宁宁买了6支圆珠笔,2支铅笔,共8支笔.

(3) 当m?3时,余款为30?3?7?9,能被3整除,也就是说配对后,余下3支圆珠笔.此时,

宁宁买了3支圆珠笔,6支铅笔,共9支笔.

(4) 当m?4时,余款为30?4?7?2,不能被3或4整除,这种情况不可能,由上面的分析可

知,宁宁共买了9支笔或8支笔.

【答案】宁宁共买了9支笔或8支笔

【巩固】 小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔,他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种,而

且小华买来的铅笔比小强多.小华比小强多买来铅笔多少支.

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯,预赛 【解析】 设买5分一支的铅笔m支,7分一支的铅笔n支.则:5?m?7?n?64,64?7?n是5的倍数.用

n?0,1,2,3,4,5,6,7,8代入检验,只有n?2,7满足这一要求,得出相应的m?10,3.即小华买铅笔10?2?12支,小强买铅笔7?3?10支,小华比小强多买2支.

【答案】小华比小强多买2支

3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 7 of 21

【例 16】 蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛,一共有100名男、女选手参加初赛,经过初赛、复赛,最后确

定了参加决赛的人选.已知参加决赛的男选手的人数,占初赛的男选手人数的20%;参加决赛的女选手的人数,占初赛的女选手人数的12.5%,而且比参加初赛的男选手的人数多.参加决赛的男、女选手各有多少人?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于参加决赛的男选手的人数,占初赛的男选手人数的20%;参加决赛的女选手的人数,占初赛时

女选手人数的12.5%,所以参加初赛的男选手人数应是5的倍数,参加初赛的女选手的人数应是8的倍数.

设参加初赛的男生为5x人,参加初赛的女生为8y人. 根据题意可列方程:5x?8y?100. ?x?12?x?4解得?,或?.

y?5y?10??又因为参加决赛的女选手的人数,比参加决赛的男选手的人数多,也就是y要比x大,所以第一组解不合适,只有x?4,y?10满足.

故参加决赛的男选手为4人,女选手为10人.

【答案】男选手为4人,女选手为10人

23【巩固】 今有桃95个,分给甲、乙两班学生吃,甲班分到的桃有是坏的,其他是好的;乙班分到的桃有

916是坏的,其他是好的.甲、乙两班分到的好桃共有几个?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 甲班分到的桃是9的倍数,乙班分到的桃是16的倍数,假设甲班分到桃9x个,乙班分到桃16y个.于

是:9x?16y?95,解得x?7,y?2,即甲班分到桃9?7?63(个),乙班分到桃16?2?32(个).所

23以,两班共分到好桃63?(1?)?32?(1?)?75 (个).

916【答案】两班共分到好桃75个

【例 17】 甲、乙两人各有一袋糖,每袋糖都不到20粒.如果甲给乙一定数量的糖后,甲的糖就是乙的2倍;

如果乙给甲同样数量的糖后,甲的糖就是乙的3倍.甲、乙两人共有多少粒糖?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设甲、乙原有糖分别为x粒、y粒,甲给乙的数量为z粒,则依题意有: (1)?x?z?2(y?z)?x?20?x?2y?3z?0,且.整理得 ???x?z?3(y?z)y?20x?3y?4z?0(2)???由⑴得x?2y?3z,代入⑵得7z?y?0,即y?7z. 因y?20,故z?1或z?2.

若z?2,则y?14,x?2?14?3?2?34?20,不合题意.

因而z?1,对应方程组有唯一解x?17,y?7,z?1.则甲、乙共有糖17?7?24粒.

【答案】甲、乙共有糖24粒

【巩固】 有两小堆砖头,如果从第一堆中取出100块放到第二堆中去,那么第二堆将比第一堆多一倍.如果

相反,从第二堆中取出若干块放到第一堆中去,那么第一堆将是第二堆的6倍.问:第一堆中的砖头最少有多少块?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设第一堆砖有x块,则根据第一个条件可得第二堆砖有?2x?300?块.

再设从第二堆中取出y块放在第一堆后,第一堆将是第二堆的6倍,可列方程: x?y?6??2x?300?y?,化简得7y?1800?11x,

7y?7. 11因为x是整数,7与11互质,所以?y?1?应是11的倍数,y最小是10,推知x最小是那么x??7y?1800??11?163?3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 8 of 21

11【答案】第一堆中的砖头最少有170块

【例 18】 甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书,已知甲班有1人捐6册,有2人各捐7册,其余都各捐11册,

乙班有1人捐6册,3人各捐8册,其余各捐10册;丙班有2人各卷4册,6人各捐7册,其余各捐9册。已知甲班捐书总数比乙班多28册,乙班比丙班多101册,各班捐书总数在400册与550册之间,问各班各有多少人?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,复赛 【解析】 我们设甲班有x人,乙班有y人,丙班有z人,那么三个班的捐书数目分别为:

11(x?3)?6?7?7?11x?13, 10(y?4)?6?8?3?10y?10, 9(z?8)?4?2?7?6?9z?22,

163?7??10?1??163?7?170,所以,第一堆中的砖头最少有170块.

根据题意有:

11x?13??10y?10??2810y?10?(9z?22)?101,即有

11x?10y?3110y?9z?89

又因为各班的捐书数目都在400到550之间,因此我们知道:捐书最多的甲班有11x?13?550,而捐书最少的丙班有9z?22?400,从而有563?11x?10y?31??9z?89??31?422?89

?31?542,于是有52?x?49,所以有x?50或51。经检验,当x?50时,y不是整数,而当x?51时,有y?53,z?49,也就是说,甲乙丙三班人数分别为51,53,49。

【答案】甲乙丙三班人数分别为51,53,49

【例 19】 在新年联欢会上,某班组织了一场飞镖比赛.如右图,飞镖的靶子分为三块区域,分别对应17分、

11分和4分.每人可以扔若干次飞镖,脱靶不得分,投中靶子就可以得到相应的分数.若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上,则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数.如果比赛规定恰好投中120分才能获奖,要想获奖至少需要投中 次飞镖.

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯,高年级组,复赛 【解析】 假设投中17分、11分、4分的次数分别为x次、y次和z次,那么投中飞镖的总次数为?x?y?z?次,

而总得分为17x?11y?4z分,要想获奖,必须17x?11y?4z?120.

由于17x?120,得到x?6.当x的值一定后,要使?x?y?z?最小,必须使y尽可能大. 若x?6,得到11y?4z?18,此时无整数解;

若x?5,得到11y?4z?35,此时y?1,z?6,x?y?z?5?1?6?12;

若x?4,得到11y?4z?52,此时y最大为4,当y?4时z?2,这种情况下x?y?z?10; 若x?3,得到11y?4z?69,此时y?3,z?9,x?y?z?3?3?9?15;

若x?2,得到11y?4z?86,此时y最大为6,当y?6时z?5,这种情况下x?y?z?13; 若x?1,得到11y?4z?103,此时y最大为9,当y?9时z?1,这种情况下x?y?z?11; 若x?0,得到11y?4z?120,此时y最大为8,当y?8时z?8,这种情况下x?y?z?16. 经过比较可知?x?y?z?的值最小为10,所以至少需要投中10次飞镖才能获奖.

【答案】至少需要投中10次飞镖才能获奖

模块三、不定方程与生活中的应用题

3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 9 of 21

【例 20】 某地用电收费的标准是:若每月用电不超过50度,则每度收5角;若超过50度,则超出部分按每

度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 3元3角即33角,因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲、乙两用户用电的情况一定是一

个超过了50度,另一个则没有超过.由于甲用户用电更多,所以甲用户用电超过50度,乙用户用电不足50度.设这个月甲用电?50?x?度,乙用电?50?y?度.因为甲比乙多交33角电费,所以有8x?5y?33.容易看出x?1,y?5,可知甲用电51度,乙用电45度.

【答案】甲用电51度,乙用电45度

【巩固】 某区对用电的收费标准规定如下:每月每户用电不超过10度的部分,按每度0.45元收费;超过10度

而不超过20度的部分,按每度0.80元收费;超过20度的部分按每度1.50元收费.某月甲用户比乙用户多交电费7.10元,乙用户比丙用户多交3.75元,那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元?(用电都按整度数收费)

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于丙交的电费最少,而且是求甲、乙电费的关键,先分析一下他的用电度数.因为乙用户比丙用

户多交3.75元,所以二者中必有一个用电度数小于10度(否则差中不会出现0.05元),丙用电少,所以丙用电度数小于10度,乙用电度数大于10度,但是不会超过20度(否则甲、乙用电均超过20度,其电费差应为1.50的整数倍,而不会是7.10元). 设丙用电(10?x)度,乙用电(10?y)度,由题意得:

0.45x?0.8y?3.75

9x?16y?75

9x?75?16y

75?16y 9所以y是3的倍数,又x,y均为整数,且都大于0小于10

x?75?16?3?3 9所以丙用电10?3?7度,交电费0.45?7?3.15元;乙交电费3.15?3.75?6.90元,甲交电费6.90?7.10?14.00元,三户共交电费3.15?6.90?14.00?24.05元.

【答案】三户共交电费24.05元

【例 21】 马小富在甲公司打工,几个月后又在乙公司兼职,甲公司每月付给他薪金470元,乙公司每月付给

他薪金350元.年终,马小富从两家公司共获薪金7620元.他在甲公司打工 个月,在乙公司兼职 个月.

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设马小富在甲公司打工a月,在乙公司兼职b月(a?b,a、b都是不大于12的自然数),则有

470a?350b?7620,化简得47a?35b?762.若b为偶数,则35b的末位数字为0,从而47a的末位

480数字必为2,这时a?6.但a?6时,b?不是整数,不合题意,所以b必为奇数.b为奇数时,

3535b的末位数字为5,从而47a的末位数字为7,a?1或a?11.但a?1时容易看出a?b,与a?b矛盾.所以,a?11,代入得b??762?47?11??35?7.

所以y?3,x?于是马小富在甲公司打工11个月,在乙公司兼职7个月.

【答案】在甲公司打工11个月,在乙公司兼职7个月

【例 22】 甲、乙、丙、丁、戊五人接受了满分为10分(成绩都是整数)的测验.已知:甲得了4分,乙得了最

高分,丙的成绩与甲、丁的平均分相等,丁的成绩刚好等于五人的平均分,戊比丙多2分.求乙、丙、丁、戊的成绩.

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

x?4【解析】 法一:方程法. 设丁的分数为x分,乙的分数为y分,那么丙的分数为分,戊的分数为

23-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 10 of 21

x?4x?8x?4x?8分,根据“丁的成绩刚好等于五人的平均分”,有5x?4?x??2???y,所以

2222203x?10?y.因为x?y≤10,所以3x?10?y≤10?10?20,3x?10?y?10?x,得到5?x≤,

3故x?6,代入得y?8.所以丁得6分,丙得5分,戊得7分,乙得8分.

法二:推理法.因为丁为五人的平均分,所以丁不是成绩最低的;丙的成绩与甲、丁的平均分相等,所以丙在甲与丁之间;又因为戊和乙都比丙的成绩高,所以乙、丙、丁、戊都不是最低分,那么甲的成绩是最低的.因为甲是4分,所以丁可能是6分或8分(由丙的成绩与甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶数),经检验丁得8分时与题意不符,所以丁得6分,则丙得5分,戊得7分,乙得8分.

【答案】丁得6分,则丙得5分,戊得7分,乙得8分

【巩固】 有两个学生参加4次数学测验,他们的平均分数不同,但都是低于90分的整数.他们又参加了第5

次测验,这样5次的平均分数都提高到了90分.求第5次测验两人的得分.(每次测验满分为100分)

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设某一学生前4次的平均分为x分,第5次的得分为y分,则其5次总分为4x?y?90?5?450,于

是y?450?4x.显然90?y≤100,故90?450?4x≤100,解得87.5≤x?90.

由于x为整数,可能为88和89,而且这两个学生前4次的平均分不同,所以他们前4次的平均分分别为88分和89分,那么他们第5次的得分分别为:450?88?4?98分;450?89?4?94分.

【答案】第5次的得分分别为:450?88?4?98分;450?89?4?94分

【例 23】 小明、小红和小军三人参加一次数学竞赛,一共有100道题,每个人各解出其中的60道题,有些

题三人都解出来了,我们称之为“容易题”;有些题只有两人解出来,我们称之为“中等题”;有些题只有一人解出来,我们称之为“难题”.已知每个题都至少被他们中的一人解出,则难题比容易题多 道.

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】填空

(1)?x?y?z?100【解析】 设容易题、中等题和难题分别有x道、y道、z道,则?,由(1)?2?(2)得

3x?2y?z?180(2)?2x?2y?2z?(3x?2y?z)?200?180,即z?x?20,所以难题比容易题多20道.

【答案】难题比容易题多20道

【例 24】 甲、乙两个同学在一次数学擂台赛中,试卷上有解答题、选择题、填空题各若干个,而且每个小

题的分值都是自然数.结果公布后,已知甲做对了5道解答题,7道选择题,9道填空题,共得52分;乙做对了7道解答题,9道选择题,11道填空题,共得68分.问:解答题、选择题、填空题的每道小题各多少分?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

?5x?7y?9z?52【解析】 设每道解答题为x分,每道选择题为y分,每道填空题为z分,有?,解得

7x?9y?11z?68?y?2z?6.因为y、z都是自然数,而且不为0,所以有y?2,z?2,或者y?4,z?1.分别代

入原方程解得x?4或者x?3.所以解答题、选择题、填空题的每道小题的分数分别为4分、2分、2分或者3分、4分、1分.

【答案】每道小题的分数分别为4分、2分、2分或者3分、4分、1分

【例 25】 甲乙丙三人参加一个共有30个选择题的比赛,计分办法是在30分的基础上,每答对一题加4分,

答错一题扣1分,不答既不扣分也不加分.赛完后发现根据甲所得总分可以准确算出他答对的题数,乙、丙二人所得总分相同,仅比甲少1分,但乙丙答对的题数却互不相同.由此可知,甲所得总分最多为 .

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】我爱数学夏令营 【解析】 设乙做对a道题,做错b道题;丙做对m道,做错n道, 则有4a?b?4m?n.4?a?m??b?n,则

有4|b?n.要使得甲总分最高,由于乙丙仅比甲少1分,则乙丙也应尽可能总分最高,从而错题最

3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 11 of 21

少,其他的题全多.若b?4,n?0,则a?m?1,a?26,m?25.此时乙得分为26?4?4?30?130分,丙得分为25?4?0?30?130分,甲得分为130?1?131分.甲扣19分,只能5?3?4?19,别无其他方式,即只能错3题空1题.若b?5,n?1,则a?m?1,a?25,m?24.此时乙得分为25?4?5?30?126分,甲得分为125?1?126分.这种得分不唯一,且得分不是最高,其他情况不可能超过131分.综上所述,甲的总分为131分.

【答案】甲的总分为131分

【例 26】 某男孩在2003年2月16日说:“我活过的月数以及我活过的年数之差,到今天为止正好就是111.”

请问:他是在哪一天出生的?

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设男孩的年龄为x个年和y个月,即12x?y个月,由此有方程式:12x?y?x?111,也就是

1?y1?y,由于0≤y?12而且是整数,所以,y?1,x?10,11x?y?11?10?1,得到x?10?1111从2003年2月16日那天退回10年又1个月就是他的生日,为1993年1月16日.

【答案】1993年1月16日

【例 27】 某次演讲比赛,原定一等奖10人,二等奖20人,现将一等奖中的最后4人调整为二等奖,这样得

二等奖的学生的平均分提高了1分,得一等奖的学生的平均分提高了3分,那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分.

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设原来一等奖的平均分为x分,二等奖的平均分为y分,得:

10x?(10?4)?(x?3)?(20?4)(y?1)?20y,整理得x?y?10.5,即x?y?10.5, 所以原来一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分. 【答案】一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分

【例 28】 某次数学竞赛准备了35支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划一等奖每人发给6支,

二等奖每人发给3支,三等奖每人发给2支,后来改为一等奖每人发13支,二等奖每人发4支,三等奖每人发1支.那么获二等奖的有 人.

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 法一:

根据“后来改为一等奖每人发13支”,可以确定获一等奖的人数小于3.否则仅一等奖就要发不少于

39支铅笔,已超过35支,这是不可能的.分别考虑一等奖有2人或者1人的情况:

①获一等奖有2人时,改变后这2人共多得?13?6??2?14支,那么得二等奖和三等奖的共少得了14支铅笔.

由于改变后二等奖多得1支,三等奖少得1支,所以三等奖应比二等奖多14?1?14人,这样他们少得的铅笔数正好是一等奖多得的.但此时三等奖至少14人,他们的铅笔总数至少为

13?2?14?1?40?35,所以这种情况不可能发生.

②获一等奖有1人时,类似前面情况的讨论,可以确定获三等奖的人数比二等奖多

?13?6???2?1??7人,所以获二等奖的有?35?13?7?1???4?1??3(人).

经检验,获一等奖1人,获二等奖3人,获三等奖10人符合题目要求,所以有3人获二等奖. 法二:

设获一、二、三等奖的人数分别有x人、y人、z人,则有方程组: ?6x?3y?2z?35 ??13x?4y?z?35(1) (2)?x?1由(2)?2?(1)将z消元,则有20x?5y?35,即4x?y?7,显然该方程的正整数解只有?,继

?y?3而可得到z?10.所以获二等奖的有3人.

【答案】获二等奖的有3人

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列不定方程解应用题

教学目标

4、 熟练掌握不定方程的解题技巧

5、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程 6、 学会解不定方程的经典例题

知识精讲

一、知识点说明 历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.

考点说明

在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中.在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、运用不定方程解应用题步骤

1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 2、根据解不定方程方法解方程 3、找到符合条件的解

模块一、不定方程与数论

【例 29】 把2001拆成两个正整数的和,一个是11的倍数(要尽量小),一个是13的倍数(要尽量大),求这

两个数.

【巩固】 甲、乙二人搬砖,甲搬的砖数是18的倍数,乙搬的砖数是23的倍数,两人共搬了300块砖.问:

甲、乙二人谁搬的砖多?多几块?

3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 13 of 21

【巩固】 现有足够多的5角和8角的邮票,用来付4.7元的邮资,问8角的邮票需要多少张?

【例 30】 用十进制表示的某些自然数,恰等于它的各位数字之和的16倍,则满足条件的所有自然数之和为

___________________.

模块二、不定方程与应用题

【例 31】 有两种不同规格的油桶若干个,大的能装8千克油,小的能装5千克油,44千克油恰好装满这些油

桶.问:大、小油桶各几个?

【例 32】 在一次活动中,丁丁和冬冬到射击室打靶,回来后见到同学“小博士”,他们让“小博士”猜他们各

命中多少次.“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5,让冬冬把自己命中的次数乘以4,再把两个得数加起来告诉他,丁丁和冬冬算了一下是31,“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数.你知道丁丁和冬冬各命中几次吗?

【巩固】 某人打靶,8发共打了53环,全部命中在10环、7环和5环上.问:他命中10环、7环和5环各几

发?

1【例 33】 某次聚餐,每一位男宾付130元,每一位女宾付100元,每带一个孩子付60元,现在有的成人各

3带一个孩子,总共收了2160元,问:这个活动共有多少人参加(成人和孩子)?

3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 14 of 21

1【巩固】 单位的职工到郊外植树,其中有男职工,也有女职工,并且有的职工各带一个孩子参加.男职工

3每人种13棵树,女职工每人种10棵树,每个孩子都种6棵树,他们一共种了216棵树,那么其中有多少名男职工?

【例 34】 张师傅每天能缝制3件上衣,或者9件裙裤,李师傅每天能缝制2件上衣,或者7件裙裤,两人20天共缝制上衣和裙裤134件,那么其中上衣是多少件?

【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友,它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候.若是早晨见面,小花狗

叫两声,波斯猫叫一声;若是晚上见面,小花狗叫两声,波斯猫叫三声.细心的小娟对它们的叫声统计了15天,发现它们并不是每天早晚都见面.在这15天内它们共叫了61声.问:波斯猫至少叫了多少声?

【例 35】 甲、乙两人生产一种产品,这种产品由一个A配件与一个B配件组成.甲每天生产300个A配件,

或生产150个B配件;乙每天生产120个A配件,或生产48个B配件.为了在10天内生产出更多的产品,二人决定合作生产,这样他们最多能生产出多少套产品?

【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间,甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件;乙车间每天能生产上

衣18件或裤子24件.现在要上衣和裤子配套,两车间合作21天,最多能生产多少套衣服?

【例 36】 有一项工程,甲单独做需要36天完成,乙单独做需要30天完成,丙单独做需要48天完成,现在由

甲、乙、丙三人同时做,在工作期间,丙休息了整数天,而甲和乙一直工作至完成,最后完成这项工程也用了整数天,那么丙休息了 天.

3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 15 of 21

【例 37】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然,热爱大自然”活动,所有的学生和老师共306人恰好坐满了5辆大巴车和3辆中巴车,已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间,求每辆大巴车的载客人数.

【巩固】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然,热爱大自然”活动,所有的学生和老师共306人恰好坐满了7辆大巴车和2辆中巴车,已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间,求每辆大巴车的载客人数.

【巩固】 每辆大汽车能容纳54人,每辆小汽车能容纳36人.现有378人,要使每个人都上车且每辆车都装

满,需要大、小汽车各几辆?

【巩固】 小伟听说小峰养了一些兔和鸡,就问小峰:“你养了几只兔和鸡?”小峰说:“我养的兔比鸡多,鸡

兔共24条腿.”那么小峰养了多少兔和鸡?

【例 38】 一个家具店在1998年总共卖了213张床.起初他们每个月卖出25张床,之后每个月卖出16张床,

最后他们每个月卖出20张床.问:他们共有多少个月是卖出25张床?

【例 39】 五年级一班共有36人,每人参加一个兴趣小组,共有A、B、C、D、E五个小组.若参加A组

的有15人,参加B组的人数仅次于A组,参加C组、D组的人数相同,参加E组的人数最少,只有4人.那么,参加B组的有_______人.

3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 16 of 21

【例 40】 将一群人分为甲乙丙三组,每人都必在且仅在一组.已知甲乙丙的平均年龄分为37,23,41.甲

乙两组人合起来的平均年龄为29;乙丙两组人合起来的平均年龄为33.则这一群人的平均年龄为 .

【例 41】 14个大、中、小号钢珠共重100克,大号钢珠每个重12克,中号钢珠每个重8克,小号钢珠每个重

5克.问:大、中、小号钢珠各有多少个?

【巩固】 袋子里有三种球,分别标有数字2,3和5,小明从中摸出12个球,它们的数字之和是43.问:

小明最多摸出几个标有数字2的球?

【例 42】 公鸡1只值钱5,母鸡一只值钱3,小鸡三只值钱1,今有钱100,买鸡100只,问公鸡、母鸡、小

鸡各买几只?

【巩固】 小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分.小明共套了10次,每

次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次,小明套10次共得61分.问:小明至多套中小鸡几次?

3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 17 of 21

【例 43】 开学前,宁宁拿着妈妈给的30元钱去买笔,文具店里的圆珠笔每支4元,铅笔每支3元.宁宁买完

两种笔后把钱花完.请问:她一共买了几支笔?

【巩固】 小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔,他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种,而

且小华买来的铅笔比小强多.小华比小强多买来铅笔多少支.

【例 44】 蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛,一共有100名男、女选手参加初赛,经过初赛、复赛,最后确

定了参加决赛的人选.已知参加决赛的男选手的人数,占初赛的男选手人数的20%;参加决赛的女选手的人数,占初赛的女选手人数的12.5%,而且比参加初赛的男选手的人数多.参加决赛的男、女选手各有多少人?

23【巩固】 今有桃95个,分给甲、乙两班学生吃,甲班分到的桃有是坏的,其他是好的;乙班分到的桃有

916是坏的,其他是好的.甲、乙两班分到的好桃共有几个?

【例 45】 甲、乙两人各有一袋糖,每袋糖都不到20粒.如果甲给乙一定数量的糖后,甲的糖就是乙的2倍;

如果乙给甲同样数量的糖后,甲的糖就是乙的3倍.甲、乙两人共有多少粒糖?

3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 18 of 21

【巩固】 有两小堆砖头,如果从第一堆中取出100块放到第二堆中去,那么第二堆将比第一堆多一倍.如果

相反,从第二堆中取出若干块放到第一堆中去,那么第一堆将是第二堆的6倍.问:第一堆中的砖头最少有多少块?

【例 46】 甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书,已知甲班有1人捐6册,有2人各捐7册,其余都各捐11册,

乙班有1人捐6册,3人各捐8册,其余各捐10册;丙班有2人各卷4册,6人各捐7册,其余各捐9册。已知甲班捐书总数比乙班多28册,乙班比丙班多101册,各班捐书总数在400册与550册之间,问各班各有多少人?

【例 47】 在新年联欢会上,某班组织了一场飞镖比赛.如右图,飞镖的靶子分为三块区域,分别对应17分、

11分和4分.每人可以扔若干次飞镖,脱靶不得分,投中靶子就可以得到相应的分数.若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上,则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数.如果比赛规定恰好投中120分才能获奖,要想获奖至少需要投中 次飞镖.

模块三、不定方程与生活中的应用题

【例 48】 某地用电收费的标准是:若每月用电不超过50度,则每度收5角;若超过50度,则超出部分按每

度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?

3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 19 of 21

【巩固】 某区对用电的收费标准规定如下:每月每户用电不超过10度的部分,按每度0.45元收费;超过10度

而不超过20度的部分,按每度0.80元收费;超过20度的部分按每度1.50元收费.某月甲用户比乙用户多交电费7.10元,乙用户比丙用户多交3.75元,那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元?(用电都按整度数收费)

【例 49】 马小富在甲公司打工,几个月后又在乙公司兼职,甲公司每月付给他薪金470元,乙公司每月付给

他薪金350元.年终,马小富从两家公司共获薪金7620元.他在甲公司打工 个月,在乙公司兼职 个月.

【例 50】 甲、乙、丙、丁、戊五人接受了满分为10分(成绩都是整数)的测验.已知:甲得了4分,乙得了最

高分,丙的成绩与甲、丁的平均分相等,丁的成绩刚好等于五人的平均分,戊比丙多2分.求乙、丙、丁、戊的成绩.

【巩固】 有两个学生参加4次数学测验,他们的平均分数不同,但都是低于90分的整数.他们又参加了第5

次测验,这样5次的平均分数都提高到了90分.求第5次测验两人的得分.(每次测验满分为100分)

【例 51】 小明、小红和小军三人参加一次数学竞赛,一共有100道题,每个人各解出其中的60道题,有些

题三人都解出来了,我们称之为“容易题”;有些题只有两人解出来,我们称之为“中等题”;有些题只有一人解出来,我们称之为“难题”.已知每个题都至少被他们中的一人解出,则难题比容易题多 道.

3-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 20 of 21

【例 52】 甲、乙两个同学在一次数学擂台赛中,试卷上有解答题、选择题、填空题各若干个,而且每个小

题的分值都是自然数.结果公布后,已知甲做对了5道解答题,7道选择题,9道填空题,共得52分;乙做对了7道解答题,9道选择题,11道填空题,共得68分.问:解答题、选择题、填空题的每道小题各多少分?

【例 53】 甲乙丙三人参加一个共有30个选择题的比赛,计分办法是在30分的基础上,每答对一题加4分,

答错一题扣1分,不答既不扣分也不加分.赛完后发现根据甲所得总分可以准确算出他答对的题数,乙、丙二人所得总分相同,仅比甲少1分,但乙丙答对的题数却互不相同.由此可知,甲所得总分最多为 .

【例 54】 某男孩在2003年2月16日说:“我活过的月数以及我活过的年数之差,到今天为止正好就是111.”

请问:他是在哪一天出生的?

【例 55】 某次演讲比赛,原定一等奖10人,二等奖20人,现将一等奖中的最后4人调整为二等奖,这样得

二等奖的学生的平均分提高了1分,得一等奖的学生的平均分提高了3分,那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分.

【例 56】 某次数学竞赛准备了35支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划一等奖每人发给6支,

二等奖每人发给3支,三等奖每人发给2支,后来改为一等奖每人发13支,二等奖每人发4支,三等奖每人发1支.那么获二等奖的有 人.

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小学竞赛试题 列不定方程解应用题 教师版与学生版 - 图文

列不定方程解应用题教学目标1、熟练掌握不定方程的解题技巧2、能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定
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