浅谈《高等数学》与《线性代数》课程的相通性
向 文，黄友霞 （北京邮电大学世纪学院，北京 102101）
【摘 要】摘要：《高等数学》和《线性代数》这两门课的内容差异大，但也有不少知识点具有相同性，很多方法和结论相互渗透，本文探讨了《高等数学》与《线性代数》课程内容的一些相通性。 【期刊名称】教育教学论坛 【年(卷),期】2016(000)032 【总页数】2
【关键词】《高等数学》；《线性代数》；相通性 【学法指导】
随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，《高等数学》和《线性代数》的作用越来越重要，它们是高等院校培养应用型人才重要的数学基础课。《高等数学》主要学习的是微积分方面的知识，《线性代数》主要学习的是几何方面的知识。由于课程内容的不同，部分高校在课程安排上往往一个教师要么只教《高等数学》，要么只教《线性代数》，从而在教学时往往忽略了引导学生去思考这两门课程中的一些相通性。实际上，看似两门完全不同的课程之间实有许多相通之处，而让学生了解和掌握这些相通性不但有利于更好地掌握这两门课程，而且还可以培养学生发现、思考和总结的能力，所学知识真正做到融会贯通。 几年来，笔者一直在教学一线，既承担《高等数学》的教学，也承担《线性代数》的教学。在教学实践中，笔者发现和总结了一些这两门课程的相通性，下面介绍几点。
一、《高等数学》和《线性代数》课程中部分定义和结论的相通性
1.线性的概念。在《线性代数》课程中，“线性”是指未知变量的次数是一次的，比如线性方程组：
方程组中的变量x1x2，…，xn都是一次的，同样“线性”这个概念在《高等数学》课程中也是类似定义的。比如线性微分方程是指未知变量的导数及未知变量的次数是一次，弄清楚线性微分方程的辨别方法，学生就能快速识别一阶线性微分方程y′+p（x）y=Q（x）、二阶常系数齐次线性微分方程y″+py′+qy=0，从而找到正确的求解方法。实际“线性”概念的相通性不止体现在《高等数学》和《线性代数》课程中，在《数学建模》课程中，线性规划中的线性概念仍然和这里的概念一致。
2.矩阵表示与函数的分解。在《高等数学》中，介绍完函数的奇偶性质之后，有这样一个结论：a.若函数f（x）的定义域关于原点对称，则可以写成一个偶函数和一个奇函数之和。而在《线性代数》课程中，在介绍完对称矩阵概念之后，也有类似结论：b.若矩阵A是方阵，则可以写成一个对称矩阵和一个反对成矩阵之和。不但如此，两个结论的证明过程也具有相通性，结论a中函数的表示方法为：，其中为偶函数，为奇函数。结论b中方阵A的表示方法为：，其中为对称矩阵，为反对称矩阵。
究其缘由是因为奇、偶函数的定义及反对称、对称矩阵的定义相似。函数f（x）的定义域关于原点对称，若f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数，若f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。矩阵A是方阵，若AT=A，则A为对称矩阵，若AT=-A，则A为反对称矩阵。
3.线性相关和线性无关的概念及判断。在《线性代数》中，向量的线性相关和线性无关是这样定义的：给定向量组α1，α2，…，αn，如果存在一组不全为
零的数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0，则称向量组α1，α2，…，αn线性相关；否则称为线性无关。在《高等数学》中，函数的线性相关和线性无关是这样定义的：定义在区间I上的n个函数y1（x），y2（x），…，yn（x），如果存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使得k1y1（x）+ k2y2（x）+…+knyn（x）≡0，x∈I，则称这n个函数在I上线性相关；否则称为线性无关。概念如此的相似，因此向量组相关性的判定方法也可以用于函数相关性的判定。比如，若两个向量构成的向量组对应分量成比例，则线性相关，否则线性无关。类似的还有，若两个函数的比为常数，则线性相关，否则线性无关。
4.方程解的结构。在《线性代数》中，当非齐次线性方程组Ax=b有无穷解时，其解可以表示为对应齐次方程组Ax=0的通解加上非齐次线性方程组Ax=b的一个特解。在《高等数学》中，非齐次线性微分方程的通解也有类似的结构，即也可表示成对应齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的特解。线性方程组和线性微分方程除了解结构类似外，解的性质也完全一样。
二、《高等数学》和《线性代数》课程中部分量运算的相通性
在《线性代数》中有一个重要的量——矩阵，故对矩阵的运算作了大量的介绍，有矩阵的加法、矩阵的减法、矩阵的乘法，但是没有矩阵的除法这一说法。在《高等数学》中，极限部分有个关键量无穷小，两个无穷小相加、相减、相乘仍然是无穷小，但是两个无穷小相除不一定是无穷小。这个特点和矩阵的运算特点类似，即对除法运算的特殊性。矩阵无除法运算，无穷小相除不一定为无穷小，它们虽然没有除法运算或性质对除法运算的不成立性，但是它们都有特殊的运算来代替，矩阵有矩阵的逆运算，无穷小可以通过相除来比较无穷小的
浅谈《高等数学》与《线性代数》课程的相通性
