2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题16基本不等式的应用
考点命题分析
1综述 1.1高考定位
高考对基本不等式内容的考查主要有:理解基本不等式在不等式证明、函数最值求解方面的重要应用.试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.通过不等式的基本知识、基本方法在三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融会贯通，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生的数学素质及创新意识. 1.2应考策略
掌握高考考查基本不等式的常见题型，主要有以下四个方面:一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等；三是利用基本不等式构造不等式；四是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式解决.掌握利用基本不等式求最值时，要满足的三个条件，即一正，二定，三相等，而且求解时要逐一检验. 1.3知识解读
从知识的本质角度看.首先基本不等式是通过“x2≥0这个基本的数量不等式对x进行替换得到的；其次，反映了算术平均数与几何平均数之间的一种不等量关系；再次，基本不等式有很好的几何意义，用它可以很好地解决实际生活中的一些最大值与最小值问题.因此，基本不等式的内容对学生厘清数学知识内部联系与解决实际问题很有好处.
从知识的作用角度看.首先，由基本不等式可以推出许多重要的不等式，例如:当a>0，b>0时，有
等；其次，基本不等式是研究其他不等式的重要基础；再次，证明基本不等
式的方法是证明不等式的基本方法之一.因此，基本不等式本身及其证明方法为学生的后续学习奠定了基础. 从学生应用的角度看.学习和应用基本不等式有利于学生观察、分析、抽象、概括、归纳、总结等能力的培养，有利于学生对数学知识的整合，如:几何与代数的整合，信息技术与数学的整合等. 1.4常用变式
两边同
.
加
两边同除以a，两边同除以b，两边同除以ab，用－a代替a，用
代替a，b，
. . .
.
.
1.5应用方式
“应用基本不等式求最值”问题需要适当的情境，观察、分析、确定问题中的五个方面:最值的类型、运算的方式、数量的形式、数量的条件、数量的关系，之后才能规范、合理、正确地应用“基本不等式”解决相应的问题，即直接规范正确使用，间接变形合理使用，构造关系变式使用. 利用基本不等式
时，要注意“正、定、等”三要素，正，即x，y都是正数；定，即不等式另一边为
时，要注意“积定和最大，和定积最小”这一
定值；等，即当且仅当x=y时取等号.利用基本不等式
口诀，并且适当运用拆、拼、凑等技巧.特别应该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等号成立的条件是否同时成立.
2问题精解
2.1利用基本不等式求最值
要点:应用基本不等式求和的最小值或积的最大值；构造基本不等式满足的条件求最值. 2.1.1运用换元变换，简化条件关系 例1求函数
的最小值.
2.1.2选择消元变形，构造数量关系 例2若正数a，b满足
，求
的最小值，并求此时a，b的值.
2.1.3分析最值类型，转化结构关系 例3设x，y为实数，若
2.2基本不等式在实际问题中的应用
，则2x+y的最大值是 .
要点:构造函数模型，利用基本不等式求实际问题中的最值问题.
例4：如图，有一块边长为1(hm)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设
.
(I)用t表示PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值.
(Ⅱ)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(hm2)? 2.3基本不等式与其他知识的综合应用
要点:(1)基本不等式与函数、方程的综合(2)基本不等式与解三角形的综合；(3)基本不等式与解析几何等其他知识的综合应用. 例5已知函数
.
(I)判断f(x)在区间(0，+∞)内的增减性，并证明你的结论； (Ⅱ)解关于x的不等式f(x)>0；
(Ⅲ)若f(x)+2x≥0在区间(0，+∞)内恒成立，求a的取值范围. 3两点说明
3.1两次应用基本不等式时要检验两次等号能否同时取到 例6若点(1，－2)在直线ax－by－2=0(a>0，b>0)上，则3.2要有应用基本不等式求中间变量范围的意识
例7已知二次函数f(x)=ax2－x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则
的最小值为
.
的最小值为
.
最新模拟题强化
1．若直线2ax?by?2?0(a?0,b?0)，被圆x2?y2?2x?4y?1?0截得弦长为4，则是（ ）． A．9
B．4
C．
41?的最小值ab1 2
D．
1 4
2．如果函数y?f?x?图象上任意一点的坐标?x,y?都满足方程lg?x?y??lgx?lgy，那么正确的选项是（ ）
A．y?f?x?是区间?0,???上的减函数，且x?y?4 B．y?f?x?是区间?1,???上的增函数，且x?y?4 C．y?f?x?是区间?1,???上的减函数，且x?y?4 D．y?f?x?是区间?1,???上的减函数，且x?y?4 3．设向量线，则
，
的最小值为（ ）.
，
，其中为坐标原点，
，若
三点共
A．4 B．6 C．8 D．9
4．如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（ ）
A．最小长度为8
B．最小长度为42 C．最大长度为8 D．最大长度为42
112x?15．已知函数f(x)?x ?x?sinx，若正实数a，b满f(4a)?f(b?9)?0，则?的最小值是（ ）
ab2?1A．1
B．
9 2C．9 D．18
6．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A．采用第一种方案划算 C．两种方案一样
B．采用第二种方案划算 D．无法确定
7．在1和17之间插入n?2个数，使这n个数成等差数列，若这n?2个数中第一个为a，第n?2个为b,当
125?取最小值时，n的值为（ ） ab
A．6 B．7 C．8 D．9
8．已知在锐角?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC?ccosB，则
111??的最小值为（ ） tanAtanBtanCA．
27 3B．5 C．
7 3D．25 9．设?ABC的内角为A，B，C，AD?BC于D．若?ABC外接圆半径等于AD，则sinB?sinC的最小值是( ) A．2
B．2
C．3 D．1
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv10．已知数列?an?是正项等差数列，在VABC中，BD?tBC，若AD?a3AB?a5AC，则a3a5的（t?R）最大值为（ ） A．1
B．
1 2C．
1 4D．
1 811．半圆的直径AB?4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则
?uuuruuuruuurPA?PB?PC的最小值是（ ）
?A．2 B．0 C．-2 D．4
12．已知x?0，y?0，z?0，且A．8
B．9
91??1，则x?y?z的最小值为（ ） y?zxC．12
D．16
13．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S?p(p?a)(p?b)(p?c)求得，其中p为
三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a?6，b?c?8，则此三角形面积的最大值为（ ） A．37 B．8
C．47 D．93
14．若正实数x,y满足x?y?1，则
41?的最小值为( ) x?1yC．
A．
44 7B．
27 514 3D．
9 2
15．已知x?0，函数f(x)?A．-2
?ex?a???e?x?a?2x2的最小值为6，则a?（ ）
D．2
e?e?xB．-1或7 C．1或-7
16．已知函数f?x??cosx?ln?x，若??x????2???2018??f??f?L?f?????? 201920192019??????11
1009?a?b?ln?（a?0,b?0)，则?的最小值为（ ）
ab
A．2
B．4
C．6
D．8
17．在平面直角坐标系中，A(?4,0), B(?1,0)，点P(a,b)(ab?0)满足|AP|?2|BP|，则值为（ ） A．4
B．3
C．
41?的最小a2b23 2D．
9 418．已知数列?an?是各项均为正数的等比数列，Sn为数列?an?的前n项和，若S2?a2?S3?3，则a4?3a2的最小值为（ ） A．9
B．12
C．16
D．18
19．已知两圆x2?y2?4ax?4a2?4?0和x2?y2?2by?b2?1?0恰有三条公切线，若a?R，b?R，且ab?0，则A．3
11?2的最小值为（ ） 2abB．1
C．
4 9D．
1 920．过抛物线C：y2?4x焦点的直线交该抛物线C于点A，B，与抛物线C的准线交于点P，如图所示，则PA?PB的最小值是（ ）
uuuruuur
A．8 B．12 C．16 D．18
21．在锐角?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，?ABC的面积为S，若sin(A?C)?2S，则
b2?c2
tanC?1的最小值为（ ）
2tan(B?C)B．2
C．1
D．22 A．2
22．在?ABC中，点P满足BP?3PC，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若
uuvuuuvruuuruuuuruuuruuuAM??AB，AN??AC???0,??0?，则???的最小值为（ ）
A．
2?1 2B．3?1 2C．
3 2D．
5 2．设
23．抛物线线段A．
的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足
的中点在上的投影为，则 B． C．
D．
的最小值是( )
24．已知角?,?的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，?,?终边上分别有点A(1,a)，B(2,b)，且??2?，则A．1
B．2
1?b的最小值为（ ） aC．3 D．2
25．已知数列{an}满足：a1?a，an?1?A．?a?0,?n≥2,使得an?2 B．?a?0,?n≥2,使得an?an?1
an1?(n?N?) ，则下列关于{an}的判断正确的是（ ) 2anC．?a?0,?m?N?,总有am?an(m?n) D．?a?0,?m?N?,总有am?n?an
uuuruuuruuur126．已知O为?ABC的外心，且cosA?，若AO??AB??AC，则???的最大值为______.
3
27．已知圆C1：x?y?2mx?4y?m?n?4?0?0?n?4?与圆C2：x2??y?1??4相内切，则
2222m2?n的最小值为______.
28．已知x?0，y?0，则
2xyxy?的最大值是______.
x2?8y2x2?2y2a1?取得最小值.
2019ab32的最小值为_?sinAsinC29．设a?b?2019，b?0，则当a?______时，
30．在?ABC中，设角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2a,b,c成等差数列，则_______.
31．已知正数x,y满足x?y?1,则
41?的最小值为__________． x?2y?132．已知m?0，m?17?1，直线l1:y?m与函数y?log4x的图像从左至右相交于点A,B，直线24与函数y?log4x的图像从左至右相交于点C,D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分m?1b别为a,b，当m变化时，的最小值是__________.
al2:y?c3?c?233．已知ac?2b?0，则a?的最小值是_________. ?2b(ac?2b)2c?224c2?1??34．已知对任意实数x，二次函数f?x??ax?bx?c恒非负，且a?b，则M?2a?b?c的最小值是__
b?a__
35．已知正项等比数列{an}，满足a4?a3?2(a2?a1)?8，则a6?a5的最小值是_____
2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题16基本不等式的应用（原卷版）
