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高中数学常用公式及常用结论
1.包含关系
AB?A?AB?B?A?B?CUB?CUA ?ACUB???CUAB?R
2．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2
个.
3.充要条件
（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.
（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.
（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性
(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么
f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；
x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?x1?x2(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?数.
5.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数
y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.
6．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
7.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?8.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2），f(x?a)?9.分数指数幂 (1)amna?b;两个函2a?b对称. 211(f(x)?0)，或f(x?a)??(f(x)?0),则f(x)的周期T=2a； f(x)f(x)??1nam（a?0,m,n?N，且n?1）.(2)a?mn?1amn（a?0,m,n?N，且n?1）.
?10．根式的性质
nnn（1）(na)?a.（2）当n为奇数时，an?a；当n为偶数时，an?|a|???a,a?0.
?a,a?0?11．有理指数幂的运算性质 (1) a?a?arsr?s(a?0,r,s?Q).(2) (ar)s?ars(a?0,r,s?Q).(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q).
12.指数式与对数式的互化式 logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).
①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：loga1?0，③.底的对数等于1：logaa?1，
④.积的对数：loga(MN)?logaM?logaN，商的对数：logaM?logaM?logaN， N学习必备 欢迎下载
nnn幂的对数：logaM?nlogaM；logamb?logab
m
13.对数的换底公式 logaN?推论 logamb?nlogmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).
logmanlogab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0). mn?1?s1,15.an??( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2??an).
?sn?sn?1,n?2*16.等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N)；
n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n. 2222ann?1*17.等比数列的通项公式an?a1q?1?q(n?N)；
q其前n项和公式为sn??a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??其前n项的和公式为sn??1?q或sn??1?q.
?na,q?1?na,q?1?1?118.同角三角函数的基本关系式
sin2??cos2??1，tan?=
19正弦、余弦的诱导公式
sin? cos?(n为偶数) (n为奇数) n?n??(?1)2sin?,sin(??)?? n?12?(?1)2cos?,?
20和角与差角公式sin(???)?sin?cos??cos?sin?;
cos(???)?cos?cos?sin?sin?;
tan??tan?tan(???)?.
1tan?tan?asin??bcos?=a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决定,tan??21、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin2??2sin?cos?． ⑵cos2??cos2b ). a??sin2??2cos2??1?1?2sin2?（cos2??1?cos2?1?cos2?2，sin??）．
22⑶tan2??2tan?．
1?tan2?2?22.三角函数的周期公式
函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?函数y?tan(?x??)，x?k??23.正弦定理
?；
?2,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T??. ?学习必备 欢迎下载
abc???2R. sinAsinBsinC24.余弦定理
a2?b2?c2?2bccosA;b2?c2?a2?2cacosB;c2?a2?b2?2abcosC.
11125.面积定理S?absinC?bcsinA?casinB（2）.
22226.三角形内角和定理
在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)?C?A?B???2C?2??2(A?B). 22227.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 28.向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）;(2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）;(3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 30．向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则ab(b?0)?x1y2?x2y1?0. 31. a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．
32.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
33.平面向量的坐标运算
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2).
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).
(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).
(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2). 34.两向量的夹角公式cos??x1x2?y1y2x?y?x?y21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
35.平面两点间的距离公式 dA,B=|AB|?AB?AB ?(x2?x1)2?(y2?y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).
36.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则 A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0.
37.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是
G(x1?x2?x3y1?y2?y3,). 33设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则
222（1）O为?ABC的外心?OA?OB?OC.（2）O为?ABC的重心?OA?OB?OC?0. （3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA. 38.常用不等式：
（1）a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．
22a?b?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2（3）a?b?a?b?a?b.
（2）a,b?R??39已知x,y都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p；
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12（2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值s.
4240.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有x?a?x2?a??a?x?a.
x?a?x2?a2?x?a或x??a.
y?y141.斜率公式 k?2（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.
x2?x142.直线的五种方程
（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．
（2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距).
y?y1x?x1?(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)).
y2?y1x2?x1xy(4)截距式 ??1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?0)
ab（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).
（3）两点式
43.两条直线的平行和垂直
(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2①l1||l2?k1?k2,b1?b2;②l1?l2?k1k2??1.
(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零,
A1B1C1；②l1?l2?A1A2?B1B2?0； ??A2B2C2(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0).
①l1||l2?直线l1?l2时，直线l1与l2的夹角是45.点到直线的距离 d?
46. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r.
22（2）圆的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0). 47.直线与圆的位置关系
22222?. 2(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0).
|Ax0?By0?C|A?B22直线Ax?By?C?0与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种:
222d?r?相离???0;d?r?相切???0; d?r?相交???0.其中d?48.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d
Aa?Bb?CA?B22.
d?r1?r2?外离?4条公切线;d?r1?r2?外切?3条公切线;
r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线;d?r1?r2?内切?1条公切线; 0?d?r1?r2?内含?无公切线.
49.圆的切线方程
(1)已知圆x?y?Dx?Ey?F?0．(2)已知圆x?y?r．
2①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0x?y0y?r;
22222?x?acos?x2y250.椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程是?.
ab?y?bsin?学习必备 欢迎下载
x2y2a2a2)，PF2?e(?x). 51.椭圆2?2?1(a?b?0)焦半径公式 PF1?e(x?abcc52．椭圆的的内外部
22x0y0x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的内部?2?2?1.
abab22x0y0x2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的外部?2?2?1.
ababa2x2y2a253.双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦半径公式PF1?|e(x?)|，PF2?|e(?x)|.
cabc54.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为2?2?1?渐近线方程：2?2?0?y??x.
ababax2y2xyb(2)若渐近线方程为y??x???0?双曲线可设为2?2??.
ababax2y2x2y2(3)若双曲线与2?2?1有公共渐近线，可设为2?2??（??0，焦点在x轴上，??0，焦点在y轴上）.
abab255. 抛物线y?2px的焦半径公式
p2抛物线y?2px(p?0)焦半径CF?x0?.
2pp过焦点弦长CD?x1??x2??x1?x2?p.
2256.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2或
AB?(1?k2)(x2?x1)2?|x1?x2|1?tan2??|y1?y2|1?cot2?（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方
程??y?kx?b2 消去y得到ax?bx?c?0，??0,?为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.
?F(x,y)?057(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 59共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b?存在实数λ使a=λb．
P、A、B三点共线?AP||AB?AP?tAB?OP?(1?t)OA?tOB.
60.向量的直角坐标运算
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则
(1)a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；(2)a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；(3)λa＝(?a1,?a2,?a3) (λ∈R)； (4)a·b＝a1b1?a2b2?a3b3；
61.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB?OB?OA= (x2?x1,y2?y1,z2?z1). 62．空间的线线平行或垂直 63.夹角公式
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则cos〈a，b〉=rrrrrr设a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0.
a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223rrrr|x1x2?y1y2?z1z2||a?b|r?64．异面直线所成角cos??|cosa,b|=r 222222|a|?|b|x1?y1?z1?x2?y2?z2rroob所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量） （其中?（0???90）为异面直线a,65.直线AB与平面所成角
b?b?b212223.
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