2、已知函数奇偶性，求参数的值或取值范围 例1.《名师一号》P19 对点自测 3
已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
1111A．－ B. C. D．－
3322
解析 依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
11
∴b＝0且a＝，则a＋b＝.
33
例2.《名师一号》P20 特色专题 典例（1）
k－2x
若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝___.
1＋k·2x
k－2－xk·2x－1
【规范解答】 ∵f(－x)＝＝，
1＋k·2－x2x＋k
∴f(－x)＋f(x)
k－2x2x＋k＋k·2x－1·1＋k·2x
＝
1＋k·2x2x＋k
11
k2－122x＋1＝. 1＋k·2x2x＋k
由f(－x)＋f(x)＝0可得k2＝1，∴k＝±1.
注意：本例易忽视函数f(x)的定义域， 直接通过计算f(0)＝0得k＝1.
注意：
1、利用函数奇偶性的定义：
f?x?与f??x?的关系，
也可以用定义的等价形式：
f(x)?f(?x)?0（对数型函数用），
f(x) ??1（指数型函数用）
f(?x)2、利用特殊值f(a)与f(?a)的关系
得到关于待求参数的方程（组）求得参数 再利用奇偶性的定义证明
切记:若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)?0． f(0)?0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件
练习:(补充)
1、已知f(x)?ax?bx?3a?b是偶函数，定义域为
12
2[a?1,2a].则a? ，b?
解：函数是偶函数，所以定义域关于原点对称.
∴a?1??2a?a?13，b?0
2、设函数f(x)＝?x＋1??x＋a?
x
为奇函数，则a＝__
分析：∵f(x)为奇函数，定义域为{x|x∈R且x≠0}， 故对 ?x∈R且x≠0有f(－x)＝－f(x)， 从而可取某个特殊值(例如x＝1)求解
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)， ∴a＝－1. 须检验!
法二:由定义求解
对?x∈R且x≠0有f(－x)＝－f(x)恒成立
答案：－1
3.定义在(?1,1)上的奇函数f(x)?x?mx2?nx?1， 则常数m?____,
n?_____。
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答案：m?0；n?0.
3、已知函数奇偶性，求解析式
例1. 《名师一号》P20 变式思考2（2）
已知函数y?f(x)在R是奇函数，且当x?0时，f(x)?x2?x，则f(x)的解析式为________
??x2?x,x?0?答案：f(x)??0,x?0
?x2?x,x?0?
例2．(补充)
?1?
设f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，若f(x)－g(x)＝?2?x，
??
比较f(1)、g(0)、g(－2)的大小________．
分析：奇偶性讨论的就是f(－x)与f(x)的关系，如果题目中涉及x与－x的函数值之间的关系，一般考虑用奇
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偶性解决．如果告诉了函数的奇偶性，应从f(－x)＝±f(x)入手．
解析：∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， ∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．
∴f(－x)－g(－x)＝??1?2?
??
－x，即－f(x)－g(x)＝2x.
x－?＝
－2x
f?x∴???f?x?－g?x?＝2
x2
??－f?x?－g?x?＝2
x
?2－，∴
??x
－x
g?x?＝－2＋22
∴f(1)＝－34，g(0)＝－1，g(－2)＝－17
8，
∴g(－2) 注意： 已知函数的奇偶性注意利用f?x?与f??x?的关系 计时双基练P220 培优3 （三）抽象函数奇偶性 例1. (补充)若函数f(x)是定义在R上的奇函数， 则函数F(x)?f(x)?f(x)的图象关于（ ） A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.以上均不对 15
函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳
