数学（理科）试题参考答案
题号 答案 13．1
1 B 2 A 3 A 4 D 5 A 6 A 7 D 8 C 9 D 10 A 11 C 12 A
14．
115．2x﹣4y+3＝016．①③④
4π
17．解（1）
p:x2?7x?10?0，∴p为真命题时实数x的取值范围是(2,5)，
m?4，所以同理q为真命题时，实数x的取值范围是(4,12)．
又
p?q为真，则p,q同时为真命题，即x的取值范围的交集，为4?x?5．
即m?4时，且p?q为真，x的取值范围是(4,5)． ……5分
??（2）因为q是p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，即p?q
又命题q为真命题时，实数x的取值范围是(m,3m)，
所以??m?255，解得?m?2． 故实数m的取值范围是[,2]． ……10分
33?3m?518．解:（1）由圆的方程得到圆心(1,2)，半径r=2.
当直线斜率不存在时，直线x?3与圆C显然相切； ……2分
当直线斜率存在时，设所求直线方程为y?3?k(x?3)，即kx?y?3?3k?0，
由题意得：|k?2?3?3k|k2?1?2，解得k??3，
4∴ 方程为y?3??3(x?3)，即3x?4y?21?0. ……6分 4故过点M且与圆C相切的直线方程为x?3或3x?4y?21?0. ……7分 弦长AB为23，半径为2. （2）∵
圆心到直线ax?y?4?0的距离d?22|a?2|a2?1，
?|a?2|??23?3∴. ……12分 a????4， 解得??2????4?a?1??2?（1）证明：连接FO、FD， 19．
∵FA＝FC，∴FO⊥AC，
∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°， ∴△DBF为等边三角形， ∴O为BD中点．∴FO⊥BD， 又∵O为AC中点，且FA＝FC，
∴AC⊥FO，又AC∩BD＝O，∴FO⊥平面ABCD， ……5分
（2）由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz． 因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°， 则BD＝2，所以OB＝1，OA?OF?3．
0，0?，A所以 O?0，所以 CF??3，0，0，B?0，1，0?，C?3，0，0，F0，0，3． ……7分
??????3，0，3，CB???31，，0AF??3，0，3． ……8分
???设平面BFC的法向量为n??x，y，z?，
???n?CF?0?3x?3z?0，?3，?1． ……10分 则有?，所以?，取x＝1，得n?1???n?CB?0?3x?y?0??所以cos＜AF，n＞?AF?nAFn??2310??． ……11分
565 则sin??cos＜AF，n＞?10． ……12分 5（1）由题得脐橙质量在?350,400?和?400,450?的比例为3：2. 20．解：
?应分别在质量为?350,400?和?400,450?的脐橙中各抽取3个和2个. ……1分
记抽取质量在350,400?的脐橙为A1，A2，A3，质量在400,450? 则从这5个脐橙中随机抽取2个的情况共有以下10种：
??A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A2B1，A3B1，A1B2，A2B2，A3B2，B1B2， ……4分
其中质量至少有一个不小于400克的7种情况，故所求概率为（2）方案B好，理由如下： ……7分
由频率分布直方图可知，脐橙质量在200,250?的频率为50?0.001?0.05同理，质量在
7 ……6分 10?
?250,300?，?300,350?，?350,400?，?400,450?，?450,500?的频率依次为0.16.0.24.0.3，
0.2，0.05
若按方案B收购：
脐橙质量低于350克的个数为?0.05?0.16?0.24??100000?45000个
脐橙质量不低于350克的个数为55000个
?收益为45000?2?55000?3?255000元 ……9分
若按方案A收购：
根据题意各段脐橙个数依次为5000，16000.24000，30000，20000.5000. 于是总收益为
?225?5000?275?16000?325?24000?375?30000?425?20000?475?5000?
?7?1000?248150（元） ……11分
?方案B的收益比方案A的收益高，应该选择方案B. ……12分
（1）证明：连结A1C交AC1于点O，连结EO 21．
ACC1A1是正方形 ?O为A1C的中点
又E为CB的中点 ?EO//A1B
EO?平面AEC1,A1B?平面AEC1 ?A1B//平面AEC1 ……5分
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
则A?0,0,0?，B?2,0,0?，B1?2,0,2?，C?0,2,0?，E?1,1,0? 设M?0,0,m?，0?m?2，则B1M???2,0,m?2?，C1E??1,?1,?2?
B1M?C1E ?B1M?C1E??2?2?m?2??0，解得：m?1 ……7分
?M?0,0,1?，则ME??1,1,?1?，MC1??0,2,1?
设平面MEC1的法向量n??x,y,z?
r??ME?n?x?y?z?0y??1则?，令，得n??3,?1,2? ……9分
MC?n?2y?z?0??1AC?平面ABB1A1 ?可取平面ABB1A1的法向量为AC??0,2,0? ……10分
?cos?AC,n??AC?nACn?14 ……11分 14?平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为：14 ……12分
14（1）当直线l的斜率不存在时，AB?8，不符合题意； ……1分 22．解：
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y?kx?1， 所以圆心O到直线l的距离d?1k?12，
因为AB?37，所以AB?37?216?(1k2?1)2，解得k??3，
所以直线l的方程为y??3x?1． . ……5分
（2）当直线l的斜率不存在时，不妨设A(0,4)，B(0,?4)，N(0,0)， 因为NA?mMA，NB?nMB，所以(0,4)?m(0,3)，(0,?4)?n(0,?5)， 所以m?
4324
，n?，所以m?n?． ……7分 3515当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为：y?kx?1， 因为直线l与x轴交于点N，所以N(?,0)．
直线l与圆O交于点A，B，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
1k?x2?y2?16,2k1522由?得，(k?1)x?2kx?15?0，所以x1?x2??2，x1x2??2；
k?1k?1?y?kx?1因为NA?mMA，NB?nMB，所以(x1?,y1)?m(x1,y1?1)，(x2?,y2)?n(x2,y2?1)， 所以m?1k1kx1?11x2?k?1?1，n?k?1?1， ……10分 x1kx1x2kx2?2k1111x1?x21k2?1232?2??2??． ……11分 所以m?n?2?(?)?2?kx1x2kx1x2k?1515152k?1综上，m?n?32． ……12分 15
江西省赣州市寻乌中学2019-2020学年高二上学期第二次段考数学（理）试卷
