2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
教学目的:
(1)了解平面向量基本定理;
(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解
决实际问题的重要思想方法;
(3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点:平面向量基本定理.
教学难点:平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型:新授课
教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、
复习引入:
1.实数与向量的积:实数λ与向量a的积是一个向量,记作:λa
(1)|λa|=|λ||a|;(2)λ>0时λa与a方向相同;λ<0时λa与a方向相反;λ=0时λa=0 2.运算定律
??????????????????结合律:λ(μa)=(λμ)a ;分配律:(λμ)a=λaμa, λ(ab)=λaλb
???3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b=
λa.
二、讲解新课:
平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1λ2e2. 探究:
???
(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线;
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数量 三、讲解范例:
例1 已知向量e1,e2 求作向量?2.5e13e2. 例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M,且AB=a,
?????AD=b,用a,b表示MA,MB,MC和MD
例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是
任意一点,求证:OAOBOCOD=4OE
OA,OB不共线,AP=tAB (t?R)用OA,例4(1)如图,OB表示OP.
OB不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且 (2)设OA、OP?(1?t)OA?tOB(t?R).求证:A、B、P三点共线.
四、课堂练习:
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a =λe1ue2(λ、u∈R) 2.已知矢量a = e12e2,b =2e1e2,其中e1、e2不共线,则ab与c =6e12e2的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x4y)e1(2x3y)e2=6e13e2,则xy的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2
4.已知a、b不共线,且c =λ1aλ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1= .
5.已知λ1>0,λ2>0,e1、e2是一组基底,且a =λ1e1λ2e2,则a与e1_____,a与e2_________(填共线或不共线). 五、小结
平面向量基本定理平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1λ2e2. 六、课后作业
已知 a=2e13e2,b= 2e13e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e19e2,问是否存在这样的实数
???、?,使d??a??b与c共线.
高中数学人教版必修平面向量基本定理教案(系列五)
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