2024年新高考数学一轮复习：函数的奇偶性与周期性
1．(2024·衡水金卷信息卷)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x3 C．y＝|x|
1
B．y＝x4 D．y＝|tan x|
解析：对于A，y＝x3为奇函数，不符合题意； 1
对于B，y＝x4是非奇非偶函数，不符合题意；
对于D，y＝|tan x|是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增． 答案：C
2．(2024·江西师大附中联考)若函数y＝f(2x－1)是偶函数，则函数y＝f(2x＋1)的图象的对称轴是( )
A．x＝－1 1
C．x＝
2
B．x＝0 1
D．x＝－ 2
解析：因为函数y＝f(2x－1)是偶函数，所以函数y＝f(2x－1)的图象关于y轴对称，因为函数y＝f(2x＋1)的图象是由函数y＝f(2x－1)的图象向左平移一个单位得到，故y＝f(2x＋1)的图象关于x＝－1对称．
答案：A
3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，
?3??且当x∈－2，0?时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2 021)等于( ) ??
A．4 C．－2
B．2 D．log27
解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，
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所以f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1)．
?3??3?
因为－1∈?－2，0?，且当x∈?－2，0?时，
?
?
?
?
f(x)＝log2(－3x＋1)，
所以f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2， 所以f(2 021)＝－f(－1)＝－2. 答案：C
4．已知f(x)＝asin x＋b1A. 3C．5
3?1?
x＋4，若f(lg 3)＝3，则f?lg 3?＝( )
??
1
B．－
3D．8
33解析：因为f(x)＝asin x＋bx＋4，则f(－x)＝－asin x－bx＋
?1?
4，所以f(x)＋f(－x)＝8.由于f?lg 3?＝f(－lg 3)，因此f(lg 3)＋f(－lg 3)
???1?
＝8.则3＋f(－lg 3)＝8，所以f(－lg 3)＝5，故f?lg 3?＝f(－lg 3)＝5.
?
?
答案：C
1
5．若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1) eA．(－∞，2) C．(2，＋∞) B．(－∞，1) D．(1，＋∞) 解析：因为f(x)＝ex－ae－x为奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，即a1 ＝1，则f(x)＝e－e在R上单调递增，且f(1)＝e－.则由f(x－1) e x －x 1 －，得f(x－1) 1 所以不等式f(x－1) e 第 2 页 共 7 页 答案：A 6．若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________． 解析：f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x2)为奇函数， 所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0， 则ln(a＋x2－x2)＝0，所以a＝1. 答案：1 7．(2024·重庆九校一模)已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________. 解析：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称， 则有f(x)＝f(6－x)， 又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 则有f(x)＝－f(x＋6)＝f(x＋12)， 则f(x)的最小正周期是12， 故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2. 答案：2 1 8．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的 1＋x2 x的取值范围是________． 1 解析：由f(x)＝ln(1＋|x|)－，知f(x)为R上的偶函数，于是 1＋x2 f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|)． 1 当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－， 1＋x2所以f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数． 由f(|x|)＞f(|2x－1|)，得|x|＞|2x－1|， 1 两边平方，得3x－4x＋1＜0，解得＜x＜1. 3 2 第 3 页 共 7 页
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