2024年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案解析
一、选择题（4分×8）
1.下列函数在x = 0处不可导的是 （ ） A、 f(x)?xsinx B、f(x)?xsinx C、f(x)?cosx D、f(x)?cosx
解 选D。由导数定义或左右导数与导数的关系可知：
xsinxxxlim?lim?0,故A选项不正确； x?0x?0xxlimx?0xsinxx?limx?0xxx?0，故B选项不正确；
limcosx?1?limx?0x?0x2sin2xx2?0，故C选项不正确；
xlimx?0cosx?1x?2sin2?limx?02??1limx，极限不存在，故D选项正确。
x2x?0x222. 过点(1,0,0),(0,1,0)，且与曲面z?x?y相切的平面为 （ ） A、 z?0与x?y?z?1 B、z?0与2x?2y?z?2 C、x?y与x?y?z?1 D、x?y与2x?2y?z?2
解 选B。 由已知，点(1,0,0),(0,1,0)在切平面上，而选项C，D显然不满足，故排除C，D。又曲面z?x?y上任一点(x,y,z)处的法向量为(2x,2y,?1)，如选项A正确，
22111x?y?z?1的法向量为(1,1,?1)，可得切点的x?,y?，代入曲面方程得z?，而
222代入x?y?z?1得z?0，矛盾，故排除A选项。
3.
?(?1)nn?0??2n?3? （ ）
(2n?1)!
A、 sin1?cos1 B、2sin1?cos1 C、2sin1?2cos1 D、2sin1?3cos1 解 选B。因
400
????2n?32n2n?1(?1)??(?1)??(?1)n?(2n?1)!n?0(2n?1)!n?0(2n?1)! n?0n??11?2?(?1)n?cos1?2sin1。 ??(?1)(2n)!(2n?1)!n?0n?0n??????(1?x)21?x24.设M???dx,N???xdx,K??2?(1?cosx)dx，则 （ ） 2???21?x2e22?A、 M?N?K B、M?K?N C、K?M?N D、K?N?M
??(1?x)21?x22xx22e?1?x,则解 选C。因M???；且因dx?dx?dx????222?????21?x21?x21?x2????1?xN??2?xdx??2?dx???M；又K??2?(1?cosx)dx??2?dx???M。
????2e222??110???5.下列矩阵中，与矩阵?011?相似的是 （ ）
?001????11?1??10?1??11?1??10?1?????????A、 ?011? B、?011? C、?010? D、?010?
?001??001??001??001??????????110???解 选A。方法一，排除法：记K??011?，易得矩阵K的特征值为1，1，1，且
?001???r(E?K)?2。由相似矩阵的性质知，如矩阵A与B相似，则E?A与E?B也相似，且r(E?A)?r(E?B)；而：
?11?1??? A选项，记A??011?，易得矩阵A的特征值也为1，1，1，及r(E?A)?2；
?001????10?1???B选项，记B??011?，易得矩阵B的特征值也为1，1，1，但r(E?B)?1；
?001???401
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