????
????=2????×
????为哥氏加速度，其在发射坐标系中的分量形式为
????????11[??????]=[??21????????31
??12
??22??32
??13?????23][???] ??33???
则哥氏惯性力????在发射坐标系的分量为:
????????????
[??????]=???[??????]
????????????
2.4六自由度空间运动方程模型
已知火箭在惯性坐标系中以矢量描述的质心运动学方程：
??2??
??2=??+??+????+????+??′?? ????由于地面发射坐标系为一动参考系，其相对于惯性坐标系以角速度????转动，故由矢量导数法则可知
??2????2??????
??2=??2+2??????×+??????×(????×??) ????????????将其带入整理得
??2??????′
??2=??+??+????+????+???????????×(????×??)?2??????× ????????箭体坐标系下以矢量描述的动力学方程为：
?????????+????×(???????)=??????+????+????+??′??????+??′??
????
由气动计算可得静稳定力矩、阻尼力矩在箭体坐标系中各分量式
0??
??????=[????1????]=[????1????????????]
??????1??????????????????
0
??1
????1??
??1??
????=[????1??]= ????1??????????????1
?? ????1????1
[????1??????????????1]
控制力矩与所采用的执行机构有关，摆动喷管的控制力矩为附加相对力矩，即
???????1????(?????????)(sin??2+sin??4)
????=[????1??]=[???] ??(?????????)(sin??1+sin??3)
????1???????????(sin??3?sin??1+sin??4?sin??2)
附加力矩
??1
????????????????1 ??1
??
4 / 18
??????1????10
2
??????1]+????′??=?[????1[???1????????1]
2???1????????1??????1????1
上述建立的质心动力学方程和绕质心转动的动力学方程，未知参数远大于方程数，因此补充运动学方程、控制方程、欧拉角联系方程以及若干附加方程。
另外，令????=?????????称为有效推力。
综上所述，可整理火箭在地面发射坐标系中的一般六自由度运动方程为： ???? ??????????????? ????′??+??????
????
??????1??1??]+????[????????????]+????[??+??????]+?? ?? =????[??1??+2??
?? ???? ??1???2????????1??1????+?????????????????????
?????? [????]
??????
????1[00
????11??12??13??+?????? ??11??12??13??g????????
??[??????]???[??21??22??23][??+??????]???[??21??22??23][??]
???? ??31??32??33??+????????31??32??33??????
????????1
??1??
??????????????0??????1 (????1?????1)??????1??????100 ??1 ????????1??
????10] ????1 +[(????1?????1)??????1??????1]=??′[????1????????????]+ ????1??????????????1 +
???? ?? ??0????1 ????(?????)??????1????????????1??1????1????1??????1 ????1 [????1??????????????1] [????]
??????1???????10??(?????????)(sin??2+sin??4)
2
??????1]+??[???]?[????1[???1????????1]??(?????????)(sin??1+sin??3)
2
???1????????1??????1???????1}??????(sin??3?sin??1+sin??4?sin??2)
5 / 18
????
???? ????
???? =[????] ???? ???????? [????]
??????????????????????????1
[??????1]=[??????????????+????????????????????????]??????1???????????????????????????????????????????1??????1??????[????1]=[??????1]?????[??????]
??????????1??????1
????(????,??,??,??,???,???,???,????,????,???)=0????(????,??,??,??,???,???,???,????,????,???)=0
????(????,??,??,??,???,???,???,????,?????,???)=0
????=??+????????
????=??+?????????????????????????????????
????=??+?????????????????????????????????
????
??=????????????
????
????
??=????????????? ?? ????????=??????(?????)???????????????????????????????(?????)?????????????????????????????????????????
?????????????????=??????(?????)????????????????????????+??????(?????)?????????????????????????????????????????
1 ????????=(?????????????????????????????????????????)
???????? 2
22√??=(??+??????)+(??+??????)+(??+??????)
??????(??+??0??)+??????(??+??0??)+??????(??+??0??)
????????=
??????
????????
??= 2??????2??+??2??????2??√????0??0 ?=?????
2+??2+??2??=√????????
}??=??0?????
三、 实验系统（10分）
3.1计算机系统
硬件环境：Intel(R) Core(TM) i5-5287U CPU @2.90GHZ 8G内存 500G硬盘 软件环境：Windows 10 教育版
MATLAB 2016a
6 / 18
3.2实验对象
选取三级远程火箭为研究对象，火箭外形采用轴对称布局，不安装舵面和翼面，动力操纵元件采用摆动喷管。主要总体参数如下：
总重 全长 最大直径 各级发动机参数如下： 一级发动机 总重 推进剂重 推力 工作时间 二级发动机 总重 推进剂重 推力 工作时间 三级发动机 总重 推进剂重 推力 工作时间 3.65吨 3.32吨 155KN 59.6s 7.05吨 6.25吨 270KN 65.2s 22.68吨 20.8吨 912KN 61.6s 35.4吨 18.26米 1.67米 四、 实验方法（40分）
4.1 制导设计
程序角采用抛物线型飞行程序角，其变化规律为：
??
0≤??
??????(??)=??+?????????)?[(?????1)?2??????1]??≤??
12 2(2??????????2121
????????2≤??≤??3{
对于方案设计阶段的运载火箭上升段弹道优化问题，采用抛物线形式的飞行
7 / 18
程序角时，飞行程序角的待优化变量可选择??????、??1和??2，减少了设计量。经过调试，可以确定最优的参数。
本实验中选取
??????=
??
， ??1=10s, ??2=173??, ??3=186.4 s 114.2简化为三自由度弹道仿真模型
在新型号火箭的初步设计阶段，由于各分系统参数未定，因而只需进行弹道 的粗略计算。将六自由度弹道模型简化为三自由度弹道模型，做出如下简化 假设：
假设1 由于工程设计人员在初步设计阶段只关心平均状态下的参数，故通 常忽略地球旋转的影响，认为 ????=0。显然，平移坐标系与发射坐标系始终 重合。
假设 2 忽略由于火箭内部介质相对于弹体流动所引起的附加哥氏力和全部 附加力矩。
假设 3 认为在控制系统作用下，火箭始终处于力矩瞬时平衡状态。 假设 4 γ=0,ν=0将欧拉角??,??,??视为小量，这些角度的正弦即取其角度的弧度值，其余弦取为 1，且在等式中出现这些角度值之间的乘积时，则作为二阶及二阶以上项略去。
假设 5 考虑到控制力较小，故将控制力与??,??,?? 的乘积项略去。
假设 6 由于引力在 ox 轴，oz 轴方向的分量远小于引力在 oy 轴方向的分 量，故将它们与σ的乘积项略去。
假设7 由于火箭的飞行时间较短，高度较低，所以忽略由于纬度变化引起的椭球模型下地球半径的变化。
基于以上假设，可将六自由度模型转化为以下三自由度模型
8 / 18
远程火箭飞行轨迹设计
