第一章 矢量分析
????x?e?y2?e?z3，B??e?y4?e?z，C?e?x5?e?y2 1.1 A?e?????A；求（1）e（2）矢量A的方向余弦；（3）A?B；（4）A?B；
?????????（5）验证A??B?C??B??C?A??C??A?B? ；
?????????（6）验证A??B?C??B?A?C??C?A?B?。
1.2 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢
??????量。设A为已知矢量，B?A?X和B?A?X已知，求X。
?23?x2?e?y2?e?z 1.3 求标量场u?xy?yz在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢量l?e方向上的方向导数。
??xx2?e?y?xy?2?e?z24x2y2z3对中心原点的单位立方体表面的1.4 计算矢量A?e?面积分，再计算??A对此立方体的体积分，以验证散度定理。
??xx?e?yx2?e?zy2z沿(0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,0)正方形闭1.5 计算矢量A?e?合回路的线积分，再计算??A对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯
??托克斯定理。
1.6 f为任意一个标量函数，求???f。
?1.7 A为任意一个矢量函数，求?????A?。
???1.8 证明：?(fA)?f?A??f?A。
???1.9 证明：??(fA)?f(??A)?(?f)?A。
??????1.10 证明：??(A?B)?B?(??A)?A?(??B)。
???1.11 证明：????A??(??A)??2A。
????223???cos??ez?sin?，试求??A，??A及?A。 1.12 A(?,?,z)?e????112?rrsin??e??sin??e??2cos?，试求??A，??A及?A。 1.13 A(r,?,?)?err1.14 f(?,?,z)??zsin?，试求?f及?2f。
1.15 f(r,?,?)?sin?r2，试求?f及?2f。
??r3sin?)?dS，S为球心位于原点，半径为5的球面。 1.16 求?(eS?1?r3cos2?，1?r?2，求???AdV。 1.17 矢量A(r,?,?)?eVr
【专题】麦克斯韦方程
1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。
2 试证明：任意矢量E在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即?????(????E)???0。
3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程??J??
4 参看4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为??1和??2，分界面两侧电场强度矢量E与单位法向矢量n21之间的夹角分别是??1和??2。假设两种媒质分界面上的电荷面密度??S?? 0，试证明：
??。 ?ttan?1?1? tan?2?2上式称为电场E的折射定律。
5 参看4题图，分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为??1和??2，假设两种媒质的分
4题图 界面上的表面电流密度矢量JS???0，把题图中的
电场强度矢量E换成磁感应强度矢量B。试证明：
tan?1?1? tan?2?2上式称为磁场B的折射定律。若 ?1为铁磁媒质，?2为非铁磁媒质，即??1?????2，当??1???90??时，试问??2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。
6 已知电场强度矢量的表达式为
E???isin(? t???? z)???j2cos(? t???? z)
?B通过微分形式的法拉第电磁感应定律???E??，求磁感应强度矢量B(不必
?t写出与时间t无关的积分常数)。
7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R，间距为d。其间填充介质的介电常数为?? 。如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I(t)???I0sin(??t)。忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D。
8 在空气中，交变电场E???jAsin(? t ? ? z)。试求：电位移矢量D，磁感应强度矢量B和磁场强度矢量H。
第?2-3?章??静电场和恒定电场
2-1 参看图2-1，无限大导板上方点P(0,?0??h)?处有一点电荷q。试求：z???0半无限大空间的电场强度矢量E和电位移矢量D，以及导板上的面电荷密度??S和总电荷量q。
图2-1 导体平面上方的点电荷及其镜像
2-2 如果将4块导板的电位分别改为：上板120?V，左板40?V，下板30?V，右板90?V。按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值：(1)?列出联立方程；(2)?用塞德尔迭代法求解；(3)?计算最佳加速因子??；(4)?用超松弛迭代法求解；(5)?比较两种迭代法的结果和收敛速度。两种迭代方法的迭代次数都取n???4。
2-3 如果平板电容其中电荷分布的线密度为 ?????0(1???4x2)，其余条件相同，用矩量法(伽辽金法)求两导板之间的电位分布函数??。选择基函数为
fn(x)???x(1???xn) n???1,2,3,…
2-4 如果在该问题中选择权函数为
w1(x)??R?R??2 和 w2(x)???6x ?k1?k2上式中，R是余数，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通过这种方式来选择权函数，
又称为最小二乘法。在其他已知条件均不变的情况下，用最小二乘法来求解两导板之间的电位分布函数??。
2-5 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A都满足下面关系：
(1) ????(??)???0； (2) ????(????A)???0
2-6 同轴线内、外半径分别为a和b，内外导体之间介质的介电常数为 ?，电导率为 ?。设在同轴线内外导体上施加的电压为Uab?，求内外导体之间的漏电
电磁场理论练习题
