应用题
例题.1、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元
2.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价
3.某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？
根的判别式
1、（2017?和平区校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（ ） A．有两个正根 B．有两个负根
C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大
【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac的符号，就可判断出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系可以判定两根的正负情况． 【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，
∴△=b2﹣4ac＞0，＜0，﹣＞0，
∴一元二次方程ax+bx+c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大． 故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点及应用解析
1、定义：若x1，x2 是一元二次方程ax+bx+c=0 (a≠0)的两个根，则有x1 + x2 = -x1·x2 =
2
2
b， ac 。对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x1 + x2 =-p，x1·x2 =q a2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ?方程有实数根。
3、若一个方程的两个为x1，x2 ，那么这个一元二次方程为a[x+(x1+x2)x+ x1·x2]=0(a≠0) 4、根与系数的关系求值常用的转化关系：
2
2cb2?2ac?b?222
①x1+x2=(x1+x2)-2x1x2=?-??= 2aaa??②
2x?x11b??12?? x1x2x1x2c2
③(x1+a)(x2+a)= x1x2 +a(x1+x2) +a =
2c2
-b +a ab-4ac22
④(x1-x2) =(x1+x2)-4x1x2 =
a25、方法归纳：（1）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a≠0，且必须有实数根，即△≥0；
（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论； （3）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。 （4）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。 6、一元二次方程的根与系数的关系的应用： （1）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。（判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若仍需考虑
＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若
＞0，
的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。）
两根的符号。
例：不解方程，判别方程
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。
（2）已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
（3）运用判别式及根与系数的关系解题。 例：已知、是关于的一元二次方程能否同号？若能同号，请求出相应的
的两个非零实数根，问
和
的取值范围；若不能同号，请说明理由，
有两个非零实数根∴则有
解：因为关于的一元二次方程
∴
又∵可得：
、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，
假设
、
同号，则有两种可能：
（1） （2）
若， 则有： ；
即有：
解这个不等式组，得
∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若 ， 则有：
即有：
解这个不等式组，得；
又∵，∴当时，两根能同号
练习：★★★1设一元二次方程
⑴二根均大于1；
⑵一根大于1，另一根小于1。
的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。
2．（2013秋?沙湾区期末）关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4，则k的取值范围是（ ） A．k＞﹣1 B．k＜0
C．﹣1＜k＜0 D．﹣1≤k＜0
3．（2015?南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
(4)运用根与系数的关系求代数式的值
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例:已知一元二次方程2x-3x+1=0的两个根分别为x1，x2 ，求（x1-x2）的值
331）=，x1x2 = 222321122
∴(x1-x2) =(x1+x2)-4x1x2 =（）-4×=
22412
∴（x1-x2）的值是
4解：由题意及韦达定理得：x1+x2= -（-(5) 运用根与系数的关系解决几何问题
22
例：在△ABC中，若∠C=90°，AB=5，AC、BC的长是关于x的一元二次方程x-(2k+3)x+k+3k+2=0的两个实数根，求k的值和△ABC的面积
解：∵AC2+BC2
=25
∴(AC+BC)2
-2AC·BC=25
∵AC+BC=2K+3,AC·BC=K2
+3K+2
∴(2K+3)2-2(K2
+3K+2)=25
整理，得k2
+3k-10=0 解得k1=-5,k2=2 ∵AC+BC=2K+3﹥0 ∴k﹥-1.5, ∴k=2
∴S△ABC =
12 AC·BC=12
2(K+3K+2)=6
【要点讲解】
1．求代数式的值
应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1 若a，b为实数，且，，求的值。
思路 注意a，b为方程的二实根；（隐含
）。
解 （1）当a=b时， ；
（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得
， ab=1.
说明 此题易漏解a=b的情况。
★★★例2 若，且，试求代数式的值。
思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m，n为方程
的二不等实根，再由韦达定理，得
，
∴
练习：（2017?黔东南州二模）设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（A．2014
B．2015
C．2016
D．2017
）
韦达定理的应用与提高自招题集
