第十五届“希望杯”全国数学邀请赛
初一第1试参考答案
一、 1 D 二、 11 选择题： 2 A 3 C 4 A 5 C 6 A 7 B 8 D 9 D 10 B A组填空题：
12 13 3.6255×10 14 0或1 15 1 16 3，94599 17 102 18 1.83 19 20 74950，8 154000 三、 21 6888，28000 4.8 2，23 B组填空题： 22 22.5，45 23 24 25 65，6∶7 ①，③ 8，9 第2试参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分） 题号 答案
二、填空题（每小题5分，含两个空格的，前空3分，后空2分）
题号 答案 题号 答案 三、解答题：
21．（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例；如1×3≠1+3 （4分）
11 673 16 5 12 668 17 126；980 13 11；234 18 1 14 20 19 35 15 15 20 1；1 1 A 2 D 3 C 4 A 5 A 6 C 7 B 8 C 9 D 10 B 22?2?4，?2?4 11n?1n?1?(n?1)??(n?1)” （7分） 得出如下猜想：“若n是正整数，则nn1n?1?右边 证法1：左边＝(1?)(n?1)?(n?1)?nn （2）将第一组等式变形为：
所以猜想是正确的 （10分）
n?1n(n?1)(n?1)2?? 证法2: 右边＝nnn22．不能填，理由如下：
设所填的互不相同的4个数为a, b, c, d；则有
＝左边
所以猜想是正确的 （10分）
① 4分） （
①－②得 c2②
③
?d2?d2?c2
2 c?d2
因为： c≠ d，只能是c = -d ④ （6分） 同理可得 （8分）
比较④，⑤得b=d ,不存在。（10分）
23、因为，x是正整数，所以表中各行或各列三数之和都是相等的正整数即：
2 6 7 4 8 3 9 1 5 与已知b≠d矛盾，所以题设要求的填数法
c2?b2 因为 c ≠b ,只能c = -b ⑤
1?2?3?4?5?6?7?8?xx?12? （2分）
33不妨设a,b与x在同一行，c，d与x在同一列，则有
a b c x x2a＋b＝c+d＝12＋－x＝12－x （4分） d 331?2?3?4又 a＋b和c＋d的最小值是?5
22x212x所以 12??5,即x? （6分） 又因为 12?＝a?b是整数，且x是不同于
3231，2，3，4，5，6，7，8的正整数，因此x＝9 （8分） 填数法如下：（不唯一）
（10分）
参考答案: 一.BACDA,DDCBA.
二.11.1.003;12.7;13.4;14.-7;15.4;16.;17.16?;18.22;19.三.21.答:不能实现.
理由:假设能够实现,不妨设中间小正方形的边长为x(x>0),左下角的正方形的边长为y(y>0),则左上角的正方形的边长为(y-x),右上角的正方形的边长为(y-2x),于是有右下角的正方形的边长为(y-3x)或(y+x). 所以,y-3x=y+x, 于是4x=0,得x=0.
与x>0矛盾,所以该同学的想法不能实现.
H22.(1)一个正整数n经达一次“H运算”的结果是b,记为:n???b,则257经过
744;20.196. 25HH笫1次“H运算”:257 ??“H运算”:784 ???257×3+13=784;笫2次?784×
1=49; 241=5; 25HH笫3次“H运算”:49???49×3+13=160;笫4次“H运算”:160 ???160×
HH笫5次“H运算”:5???5×3+13=28;笫6次“H运算”:28 ???28×
1=7; 2212HH笫7次“H运算”:7???7×3+13=34;笫8次“H运算”:34 ???34×=17;
HH笫9次“H运算”:17???17×3+13=64;笫10次“H运算”:64 ???64×
1=1; 26HH笫11次“H运算”:1???1×3+13=16;笫12次“H运算”:16 ???16×
1=1; 241=1; 24HH笫13次“H运算”:1???1×3+13=16;笫14次“H运算”:16 ???16×
从笫11步以后出现循环,奇数步的结果为16,偶数步的结果为1. 因此,笫257步后的结果为16.
(2)若对一个正整数进行若干次“H操作”后出现循环,此时“H运算”②的运算结果总是a,则a一定是个奇数,那么,对a进行“H运算”①的结果a×3+13是偶数.
再对a×3+13进行“H运算”,即 a×3+13乘以于是
1的结果仍是a, 2ka?3?13=a, 2kk
也即a×3+13=a×2, 即a×(2-3)=13=1×13. 因为a是正整数, 所以2-3=1或2-3=13, 解得k=2或k=4. 当k=2时,a=13; 当k=4时,a=1.
23.为了用载重量5吨的汽车将救灾物品一次运走,我们应将不同规格的集装箱进行有效组合,即尽量使每一节汽车都能装满.
由题设可知,物资总重63.5吨,而12<63.5÷5<13,由此可知,要把救灾物品一次运走,需要的汽车不能少于13辆. 于是我们提出如下设计方案:
A类:每辆装4吨集装箱1个和1吨集装箱1个,按排3辆汽车; B类:每辆装3吨集装箱1个和1吨集装箱2个,按排4辆汽车; C类:每辆装2.5吨集装箱2个,按排2辆汽车;
D类:每辆装2.5吨、1.5吨、1吨集装箱各1个,按排1辆汽车; E类:每辆装1.5吨集装箱3个,按排3辆汽车; 而3+4+2+1+3=13(辆),
因此,要把救灾物品一次运走,需要汽车至少13辆.
k
k
k
2002年度初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案： 一、1.2002+(-2002)-2002×(-2002)÷2002 =0-2002×(-2002)×1 2002 =2002 ∴ 选(C)
2.①、④是正确命题. ∴ 选(B). 3.选(B).
4.1-10之间的质数有2,3,5,7,但2是偶数,所以可用质数为3,5,7.
2222
当x=3时,x+2=11, x+4=13, x+6=15, x+8=17,其中15不是质数
2222
当x=5时, x+2=27, x+4=29, x+6=31, x+8=33,其中15不是质数.
2222
当x=7时, x+2=51, x+4=53, x+6=55, x+8=57,其中51、55、57不是质数. 所以共有6个符合条件,选(A) 5.选(C) 6.选(A). 7.选(C) 8.选(D). 9.选(C). 10 选(A).
11.设短直角边为x,则长直角边为(x+1)
222 ∴(x+1)+x=(13)
∴x1=2,x2=-3(舍) 填35.
12.设小组总人数为x,男生为y.
4050x?y?x 10010021 即x?y?x
52 ∴
?y??? ∴ ??y???时,6?x?25x?x?y?5 ∴?2 把y取1、2、3整数,经验证,当y=31?x?x?2y215,整数x为7,所以数学小组成员至少为7人,填7. 213.设甲、乙同学跑了x秒,则小狗跑了(x-6)秒.
希望杯七年级试题答案
