华北电力大学 2018-2019学年第1学期考试试卷(A)
课程名称 专业班级 考试方式 命题教师 复变函数与积分变换 课程编号 全校各班 闭卷 命题组 需要份数 试卷页数 主任签字 00900090 1600 2 考核日期时间 送交日期 A B卷齐全 备 注 2019.1.9 2018.12.28 是 注意：请将所有答案写在答题册上，写在试卷上无效。
一、填空题(共15分, 每小题3分) 1. 计算Ln(1?3i)=_______。
2. 幂级数?n2zn的收敛半径R?______。
n?1? 3. 一个向量顺时针旋转
?，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 3 1?3i，则原向量对应的复数是___________。 4. f(t)?sint的Laplace变换是___________。 t??t 5. 若f(t)为偶函数，且t?0时，f(t)?e ___________。
(??0)，则f(t)的Fourier积分表达式为
二、求下列函数的积分（封闭曲线均为正向）（共25分，每小题5分）： 1.
1?tanz?0cos2zdz
i2. 沿y?x2算出3.
?1?i0(x2?iy)dz的值.
???0x?sin?xdx，??0,b?0． 222(x?b)z19dz. 5.4.?2443(z?1)(z?2)(z?5)z?4
|z|?dz?3?z2?1??z2?4?.
2 三、（10分）求函数f(z)?zRe(z)在何处可导，在何处解析。 四、（10分）求函数f(z)?1在圆环域0?z?i|?1的Laurent展式。
z(z?i)五、(10分)若复数z满足zz?(1?i)z?(1?i)z?2?0，试求z?
1i?的取值范围。 22六、(1).求单位圆周z:z?1和直线?z:Re(z)?????3??的一对公共对称点；(5分) 2?3??映射成一对同心圆周的分式线性 2? (2).求将单位圆周z:z?1和直线?z:Re(z)????? 映射，其中映射后的一个圆周仍然是单位圆周。(5分)
七、(10分)求函数f(t)???cost,|t|??的Fourier变换，并证明
|t|???0,???2cost,?????sin(??)cos(?t)?d?? ????,201???4????0,
八、(10分)利用Laplace变换求解常微分方程
|t|??,|t|??,|t|??.
?y??(t)?y(t)?|sint|,t?0 ???y(0)?y(0)?0.
华北电力大学 2018-2019学年第1学期考试试卷(A)答案
一、填空题(共15分, 每小题3分) 1. 计算Ln(1?3i)=ln2?i(2k????3),(k?0,?1,?2,...)。
2. 幂级数?n2zn的收敛半径R?_____1______。
n?1 3. 一个向量顺时针旋转
?，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 3 1?3i，则原向量对应的复数是_____2______。 4. f(t)?sint的Laplace变换是 ??arctans( 或 arctan1 或 1lns?i), (Re(s)?0). t2s2is?i??t 5. 若f(t)为偶函数，且t?0时，f(t)?e(??0)，则f(t)的Fourier积分表达式为
12??????2?ei?t??|t|d??e (或 =f(t)) 。
?2??2二、求下列函数的积分（封闭曲线均为正向）（共25分，每小题5分）： 1.
1?tanz?0cos2zdz
i解：被积函数的原函数为tanz?12tanz， ------------------------(3分)
21?e2?1?e2?121?2i. ---------------------(2分) 故积分=tani?2tani???22?e?1?e?1?2. 沿y?x2算出解：积分=
2?1?i0(x2?iy)dz的值.
?10(x2?ix2)(1?2xi)dx ---------------------(3分)
115i?(1?i)?(x2?2ix3)dx?(1?i)(1?)???i. ---------------(2分) 320663.
???0x?sin?xdx，??0,b?0．
(x2?b2)2??1??xsin?x1xei?x解：积分=?dx?Im?dx ---------------------(2分)
??(x2?b2)22??(x2?b2)221zei?z???b???Im { 2?i?Res[2,bi]}?e. ---------------------(3分) 222(z?b)4bz194. ?dz. 2443(z?1)(z?2)(z?5)z?4z19z19 解：积分=?2?i(Res[2,5]?Res[2,?])
(z?1)4(z4?2)3(z?5)(z?1)4(z4?2)3(z?5) ------------------(3分)
519519 =?2?i(4. -------------------------(2分) ?0)=?2?i43326?62726?6275.
|z|?dz?3?z2?1??z2?4?.
2解：积分=2?i(Res[11,i]?Res[,?i]) --------------(3分)
(z2?1)(z2?4)(z2?1)(z2?4)11?2?i(?i?i)?0. -----------------(2分)
66三、（10分）求函数f(z)?zRe(z)在何处可导，在何处解析。 解：令z?x?iy，则f(z)?(x?iy)x?x?ixy， 故u(x,y)?x2，v(x,y)?xy， --------------------(2分) 从而
2?u?v?u?v?2x，?0，?y，?x。 --------------------(2分)
?x?x?y?y四个偏导数处处连续，仅当x?y?0时才满足柯西-黎曼方程
?v?u?v?u?，??, ----(4分)
?x?x?y?y则函数f(z)?zRe(z)只有在z?0处可导，在复平面内处处不解析。 ----------(2分)
四、（10分）求函数f(z)?解：当0?z?i?1时，
??1111nnn?????i?i?z?i???in?1?z?i?, -----------------(6分) zz?i?ii1?z?in?0n?0i1在圆环域0?z?i|?1的Laurent展式。
z(z?i)?1n?1??in?1?z?i?。 ------------------(4分) 于是
z?z?i?n?0五、(10分)若复数z满足zz?(1?i)z?(1?i)z?2?0，试求z?解：方程可化为
1i?的取值范围。 22z?1?i?2，表示以?1?i为心半径为2的圆周 --------（4分），
z?
1i1i， ?表示它与点-的距离， ---------------------（2分）
2222从而2-101i10?z???2? ------------------（4分） 2222六、(1).求单位圆周z:z?1和直线?z:Re(z)?????3??的一对公共对称点；(5分) 2? (2).求将单位圆周z:z?1和直线?z:Re(z)?????3??映射成一对同心圆周的分式线性 2?映射，其中映射后的一个圆周仍然是单位圆周。(5分)
解：(1)经过简单分析可知公共对称点只能在实轴的正半轴上, 故可设公共对称点分别为x和
113， 且满足(x?)/2?， ---------------(3分) xx2由此解得公共对称点为x?3?513?5和?。 --------------(2分) x22(2) （评分标准: 以下四种情况任意做对一种给5分；写出了单位圆(或半平面)到单位圆的分
式线性映射的一般公式给3分）
情况(i): 将单位圆周映射为单位圆周，且将直线?z:Re(z)???3??映射为半径大于1的圆2?3?5i?2(??). 周的分式线性映射为 w?e3?51?z2z? 情况(ii): 将单位圆周映射为单位圆周，且将直线?z:Re(z)???3??映射为半径小于1的2?
华北电力大学复变2018-2019-A-试卷及答案
