示范教案
教学重点与难点
教学重点：通过对实际问题所涉及的数学关系的理解，寻找图形变化中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化．
教学难点：寻找形变问题中的不变量，列出等量关系． 学情分析 认知基础：在前面第1节“认识一元一次方程”中，学生已经进行了大量的根据题意列出方程的练习，加之后面通过第2节习题中“问题解决”里的应用题的学习，学生已初步经历了一个从具体情境中抽象出数学问题，通过分析问题中的等量关系，建立方程模型解决实际问题的全过程，了解了用方程解决实际问题的一般步骤，有一定的分析问题和解决问题的能力．本节课涉及到图形问题，关键是让学生抓住形变过程中的不变量，对于基本图形的体积、面积、周长等公式，学生已在小学系统学习，如果遗忘或混淆，可做适当复习．
活动经验基础：在学习过程中通过师生、生生互动激发了学生面对问题、解决问题的热情和自信，从而在情感上对方程这个工具产生好感，实现了用算术法的逆向思维解题向代数法建立等量关系解题的平稳过渡．另外，学生在动手操作，合作交流，合理表达的过程中，为本节课的学习积累了一定的数学活动经验．
教学目标
通过分析图形、问题中的数量关系，建立方程解决问题．进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，认识方程模型的重要性．
教学方法
课前让学生准备橡皮泥和等长的线绳，在教师的引导下，通过学生亲自动手制作模型，自主探索在模型变化过程中的等量关系，建立方程，从而将图形问题代数化，从而达到化解难点，强化重点的教学效果．
教学过程
一、创设情境，引入新课 设计说明
“阿基米德检验皇冠”的故事可以激发学生探索问题的兴趣和热情，启发学生思维，体会形变中的不变，无形中有形．情境2的设计增强对“变高”的实质的感性认识，调动学生参与教学的积极性．
情境1：讲述“阿基米德检验皇冠”的故事后，提出问题：阿基米德要判断制作精美的皇冠是否纯金的，必须得知道皇冠的体积，那么在故事中阿基米德是用什么方法算出皇冠的体积的？
在这个问题的讨论交流中，学生不难发现：皇冠的体积＝溢出容器的水的体积．
情境2：教师和学生一起动手操作，把一根“矮胖”形圆柱橡皮泥挤压成“瘦长”形圆柱，我们把这个变化形象地表示为圆柱变高了，从而引入课题——水箱变高了．
教学说明
故事的讲述侧重点要尽量倾向于建立“皇冠体积＝溢出水的体积”的等量关系．利用情境2引入课题，同时也为感受等量关系提供直观素材．
二、讲授新课
1．分析问题，探究新知 设计说明
在动手操作，直观感受的基础上，分析“水箱变高了”的真实含义．
问题1：在挤压橡皮泥的过程中，你发现哪些量发生了变化？什么量没有发生变化，你能列出等量关系吗？
学生容易得出：
(1)物体的形状发生了变化，由“矮胖”形的圆柱体变成了“瘦长”形的圆柱体．也就是说圆柱体的底面半径减小了，高度增大了；
(2)圆柱体的体积没有发生变化，即“矮胖”形圆柱的体积＝“瘦长”形圆柱的体积； (3)“水箱变高了”实质上就是物体的变形问题，由一种形状变成了另一种形状，比如把橡皮泥由圆柱体也可以捏成正方体等．
问题2：复习常见图形的体积、面积、周长公式． 教学说明
结合提出的问题，组织学生讨论，重视图形变化过程中相等关系的建立，理顺变量与不变量的关系．教师可组织学生多做几个橡皮泥的图形变化，借此复习各种立体图形的体积公式，为例题的教学积累数学活动经验，化解难点，排除知识障碍．
2．应用新知，解决问题 设计说明
这是本节课最重要的教学环节，教材提供的两个例题分别涉及到锻压变形体积不变、等长变形的问题．教师有力地引导分析，学生充分地交流展示，富有启发性的解题感悟以及解题后的规律探究有利于学生掌握解决问题的基本解题技巧和方法，也有利于学生思维的拓展和创新．
引例：(课件展示)如下图，将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径是10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？
讨论分析：在锻压过程中哪些量改变了？哪些量没变？问题中的等量关系是什么？ 由情境2的启发，学生很容易得出结论：
圆柱的底面直径和高发生了变化，但圆柱的体积没有改变．所以，在这个问题中的等量关系是：锻压前的体积＝锻压后的体积．
列表分析：设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表：
(单位：厘米)
锻压前 锻压后 底面半径 10 5 高 9 x 22体积 π×10×9 π×5×x 解：设锻压后圆柱的高为x厘米． 22
根据题意，得π×5×x＝π×10×9. 解得x＝36.
答：锻压后高变成了36厘米．
规律探究：圆柱在锻压过程中，随着直径的变化，圆柱高度的变化有什么规律？
[来源:学科网]直径 40 20 10 5 高 9 36 通过小组内分工协作，计算得出：当圆柱直径为40时，高度变为2.25；当圆柱直径为5时，高度变为144.观察直径和高的变化规律，不难发现：圆柱在锻压过程中体积不变，随着直径逐渐变小，圆柱高度不断增大．
解题感悟：反思引例解答过程，你认为解决问题的关键是什么？你采用了什么方法辅助分析？在解题过程中有哪些易错点？
在分析问题过程中最关键的是抓住锻压变化中的不变量——物体的体积．为了更好地理清问题中的变量和不变量以及它们之间的关系可以采用图示法或列表法．但在解题过程中，
学生易出现半径与直径混淆、算式中直接用3.14替代π、圆柱体积计算公式遗忘等问题，要注意及时纠正．
例1 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形．
(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？
(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？
(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？
分组讨论：用你手里的线绳亲自动手操作，根据你的生活经验和操作过程以及用一元一次方程解决实际问题的基础，分组独立完成例1中的(1)(2)(3)三个问题．
小组汇报：选派小组代表板演解题过程，教师规范步骤、发现问题及时指出并加以纠正． 解：(1)设此时长方形的宽为x米， 则它的长为(x＋1.4)米．
根据题意，得[x＋(x＋1.4)]×2＝10. 2x＝5－1.4.x＝1.8. x＋1.4＝1.8＋1.4＝3.2.
此时长方形的长和宽分别为3.2米、1.8米． (2)设此时长方形的宽为x米， 则它的长为(x＋0.8)米．
根据题意，得[x＋(x＋0.8)]×2＝10. 2x＝5－0.8.x＝2.1.
x＋0.8＝2.1＋0.8＝2.9.
此时长方形的长和宽分别是2.9米和2.1米．它围成的长方形的面积为2.1×2.9＝
22
6.09(米)．而(1)中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76(米)．此时长方形的面积比(1)中面
2
积增大6.09－5.76＝0.33(米)．
(3)设正方形的边长为x米． 根据题意，得4x＝10，x＝2.5.
2
正方形的边长为2.5米，它所围成的面积为2.5×2.5＝6.25(米)，比(2)中面积增大
2
6.25－6.09＝0.16(米)．
解题感悟：反思各组的解答过程讨论：解决这道题的关键是什么？从解这道题中你有何收获和体验．
解答这道题的关键是要认识到在改变长方形的长和宽的同时，长方形的周长不变，始终是铁丝的长度(10米)，由此便可建立等量关系；同时我们也发现，虽然长方形的周长不变，但改变长方形的长和宽时，长方形的面积却在发生变化，而且大家发现长和宽越接近面积就越大．
规律探究：至于围成正方形的时候面积是不是达到最大，教师鼓励学生大胆猜想，在分组计算的情况下可取更多的中间值加以比较论证，然后演示用超级画板制作的课件(图(1)、图(2)、图(3)分别截取了动画过程中满足例1问题的相关数量和图形)，让学生直观感受问题中长方形的长、宽和面积的变化，但周长始终不变；并且当围成正方形时其面积是所有可能围成的长方形中最大的．
[来源:学科网ZXXK][来源:Z|xx|k.Com]图(1)
图(2)
图(3)
教学说明
有了“分析问题，探究新知”环节作铺垫，找出引例问题中等量关系比较容易，教师要注意组织学生对“解题感悟”的反思和提升，对于学生在解题过程中出现的列式计算问题，教师应及时指出并加以纠正．例1应鼓励学生用同一条线绳围成不同的长方形，感受在长方形的长、宽的变化引起面积的变化，但长方形的周长是不变的，并抓住这一点建立“相等关系”．例1的解答注意学生的合作交流，尤其是长与宽的变化引起面积变化的规律探究．另外，充分利用北师大教材的z＋z课件资源加强直观演示，课件的动画功能和数据跟踪可以实现由特殊到一般的规律探索．
三、变式训练，熟练技能 设计说明
改变问题情境，解决生活中的常见的形变问题，强化应用意识．
1．把一块长、宽、高分别为5 cm、3 cm、3 cm的长方体木块，浸入半径为4 cm的圆柱形玻璃杯中(盛有水)，水面将增高多少？(不外溢)
相等关系：水面增高体积＝长方体体积． 解：设水面增高x厘米．
2
根据题意，得π×4×x＝5×3×3.
45
解得x＝≈0.9.
16π
因此，水面增高约为0.9厘米．
2．如下图，墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？
[来源:学科网ZXXK]分析：等量关系是变形前后周长相等． 解：设长方形的长是x厘米．
根据题意，得2(x＋10)＝10×4＋6×2. 解得x＝16.
因此，小颖所钉长方形的长是16厘米，宽是10厘米．
教学说明
鼓励学生自主思考解答，然后小组交流，各小组选出代表上台讲解，教师适时点评． 四、总结反思，情意发展 本节课你有什么感受和收获？
1．通过对引例的理解，我们知道“锻压前体积＝锻压后体积”，“变形前周长等于变形后周长”是解决此类问题的关键．其中也蕴涵了许多变与不变的辨证的思想．
2．遇到较为复杂的实际问题时，我们可以借助表格分析问题中的等量关系，借此列出方程，并进行方程解的检验．
3．学习中要善于将复杂问题简单化、生活化，再由实际背景抽象出数学模型，从而解决实际问题．
评价与反思
橡皮泥和线绳作为本节课的教具和学具，在教学过程中激发了学生参与热情，提高了探究问题的兴趣，启迪学生思维、创新，是课堂教学的润滑剂．在动手操作的活动中，感受到形变中的不变，为寻找等量关系提供了感性素材，顺利地突破本节课难点．
教学环节设计严谨，思维缜密，通过问题情境的设置，通过操作、交流、合作、分析解题、反思感悟等一系列活动，感受从实际问题中抽象出数学问题——抓住等量关系建立方程模型——体会方程的重要性的过程，从而提高学生分析问题、解决问题的能力，掌握解决实际问题的基本方法和策略．
北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》名师教案
