2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年福建，理1，5分】已知复数z的共轭复数z?1?2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位
于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】D
【解析】z的共轭复数z?1?2i，则z?1?2i，对应点的坐标为(1,?2)，故选D． （2）【2013年福建，理2，5分】已知集合A??1,a?，B??1,2,3?，则“a?3”是“A?B”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】a?3?A?B，A?B?a?2，或3．因此是充分不必要条件，故选A．
x2（3）【2013年福建，理3，5分】双曲线?y2?1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
4254524（A）（B）（C） （D）
555 5
【答案】C
x2x22【解析】?y?1的顶点坐标为(?2,0)，渐近线为?y2?0，即x?2y?0．带入点到直线距离公式
44?225Ax0?Bx0?C?=，故选C． d?222251?(?2)A?B（4）【2013年福建，理4，5分】某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测
试成绩分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
（A）588 （B）480 （C）450 （D）120 【答案】B
【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道P?(0.03?0.025?0.015?0.01)*10?0.8，
故分数在60以上的人数为600?0.8?480人，故选B．
（5）【2013年福建，理5，5分】满足a,b???1,0,1,2?，且关于x的方程ax2?2x?b?0有实数解的有序数对(a,b)的 个数为（ ）
（A）14 （B）13 （C）12 （D）10 【答案】B
【解析】方程ax2?2x?b?0有实数解，分析讨论①当a?0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此
时b 可以取4个值．故有4种有序数对；②当a?0时，需要??4?4ab?0，即ab?1．显然有3
（1,2）（21,）（2,2）个实数对不满足题意，分别为，，．Q(a,b)共有4*4?16中实数对，故答案应为
16?3?13，故选B．
（6）【2013年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，若输入的k?10，则该算法的功能是（ ）
（A）计算数列?2n?1?的前10项和 （B）计算数列?2n?1?的前9项和
（C）计算数列?2n?1?的前10项和 （D）计算数列?2n?1?的前9项和
【答案】A
【解析】第一循环：S?1,i?2，i?10第二条：S?3,i?3,i?10第三条：S?7,i?4,i?10…．．第九循环：
1(1?210)910S?2?1,i?10,i?10．第十循环：S?2?1,i?11,i?10，输出S．根据选项，S?，
1?2故为数列2n?1的前10项和，故选A．
uuuruuur（7）【2013年福建，理7，5分】在四边形ABCD中，AC?(1,2)，BD?(?4,2)，则四边形的面积为（ ） （A）5 （B）25 （C）5 （D）10 【答案】C
【解析】由题意，容易得到AC?BD．设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和
11即S?(AO*DO?AO*BO?CO*DO?CO*BO)?(AC*BD)．容易算出AC?5,BD?25，则
22算出S?5，故选C．
（8）【2013年福建，理8，5分】设函数f(x)的定义域为R，x0(x0?0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确
的是（ ）
（A）?x?R,f(x)?f(x0)（B）?x0是f(?x)的极小值点
（C）?x0是?f(x)的极小值点 （D）?x0是?f(?x)的极小值点 【答案】D
【解析】A．?x?R,f(x)?f(x0)，错误．x0(x0?0)是f(x)的极大值点，并不是最大值点；B．?x0是f(?x)的
?x0是?f(x)极小值点．错误．f(?x)相当于f(x)关于y轴的对称图像，故?x0应是f(?x)的极大值点；C．
的极小值点．错误．?f(x)相当于f(x)关于x轴的对称图像，故x0应是?f(x)的极小值点．跟?x0没有
关系．D．?x0是?f(?x)的极小值点．正确．?f(?x)相当于f(x)先关于y轴的对象，再关于x轴的对
称图像．故D正确，故选D．
（9）【2013年福建，理9，5分】已知等比数列{an}的公比为q，记bn?am(n?1)?1?am(n?1)?2?...?am(n?1)?m，
cn?am(n?1)?1?am(n?1)?2?...?am(n?1)?m则以下结论一定正确的是（ ）
（A）数列?bn?为等差数列，公差为qm （B）数列?bn?为等比数列，公比为q2m （C）数列?cn?为等比数列，公比为qm （D）数列?cn?为等比数列，公比为qm 【答案】C
2m2m【解析】等比数列{an}的公比为q， Qam??a1?a2m?1 同理可得 ?1??a1q??a1??a1q222am?2??a2?a2m?2，am?m??am?a2m?m，c1?a1?a2?...?am，c2?am?1?am?2?...?am?m2m
，
c3?a2m?1?a2m?2?...?a2m?m?c2?c1?c3?数列{cn}为等比数列，
2c2am?1?am?2?...?am?ma1?a2?...?am?q2mQ???q2m?qm，故选C． c1a1?a2?...?ama1?a2?...?am2（10）【2013年福建，理10，5分】设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y?f?x?满
足：（ⅰ）T??f?x?x?S?；（ⅱ）对任意x1,x2?S，当x1?x2时，恒有f?x1??f?x2?，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
（A）A?N*，B?N （B）A??x?1?x?3?，B??xx??8或0?x?10? （C）A??x0?x?1?，B?R （D）A?Z，B?Q 【答案】D
5?5x?(?1?x?3)?【解析】根据题意可知，令f(x)?x?1，则A选项正确；令f(x)??2，则B选项正确； 2?(x??1)??81令f(x)?tan?(x?)，则C选项正确，故选D．
2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
（11）【2013年福建，理11，4分】利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a，则时间“3a?1?0”发生的概率
为 ．
【答案】
2 31113?2． 【解析】Q3a?1?0?a?，Qa产生0~1之间的均匀随机数?a?(,1)?p?3133（12）【2013年福建，理12，4分】已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测
试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ． 【答案】12?
【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，
1?3?22?R球??3?S表?4?R2?12?．
2（13）【2013年福建，理13，5分】如图?ABC中，已知点D在BC边上，AD?AC，
22，AB?32，AD?3，则BD的长为 ． sin?BAC?3【答案】3 222?22AB?AD?BD【解析】Qsin?BAC?sin(?BAD?)?cos?BAD?， ?根据余弦定理可得cos?BAD?232AB?AD22(32)2?32?BD2???BD?3．
32?32?3x2y2（14）【2013年福建，理14，4分】椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左．右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直
ab线y?3?x?c?与椭圆C的一个交点M满足?MF1F2?2?MF2F1，则该椭圆的离心率等于 ． 【答案】3?1
【解析】由直线方程y?3(x?c)?直线与x轴的夹角?MF1F2??3或2?，且过点F1??c,0?Q?MF1F2?2?MF2F1 3即F1M?F2M?在Rt?F1MF2中，F1F2?2c,F1M?c,F2M?3c?由椭圆的第一
3c2定义可得2a?c?3c???3?1．
a1?31（15）【2013年福建，理15，4分】当x?R，x?1时，有如下表达式：1?x?x2?L?xn?L?，两边同
1?x11111122222n时积分得：?1dx??xdx??xdx?L??xdx?L??2dx．
000001?x11?1?1?1?1?1?从而得到如下等式：1??????????L???22?2?3?2?n?1?2?0n??MF1F2?2?MF2F1??23n?1?L?ln2．
23n?1111?1?12?1?1n?1?请根据以下材料所蕴含的数学思想方法计算：C??Cn????Cn????L?Cn??22n?1?2??2?3?2?13【答案】[()n?1?1]
n?120122【解析】由Cn1?Cnx?Cnx?...?Cnnxn?...?(1?x)n
? _．
两边同时积分得：C1dx?Cxdx?Cxdx?...?Cxdx?...??1200n?1201n?12022n?120nnn?120(1?x)ndx.
1111212131n1n?113n?1从而得到如下等式：Cn0??Cn?()?Cn?()?...?Cn?()?[()?1]．
22232n?12n?12三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）【2013年福建，理16，13分】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的
22中奖率为，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只
35有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X,Y，求X?3的概率；
（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学
期望较大？
22解：（1）由已知得：小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得
35分X?3”的事件为A，则A事件的对立事件为“X?5”，
2241111QP?X?5????，?P?A??1?P?X?5??，?这两人的累计得分X?3的概率为．
35151515（2）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择
方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)
222424由已知：X1~B(2,)，X2~B(2,)，?E(X1)?2??，E(X2)?2??，
353355812?E(2X1)?2E(X1)?，E(3X2)?3E(X2)?，QE(2X1)?E(3X2)，
35?他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．
（17）【2013年福建，理17，13分】已知函数f?x??x?alnx?a?R?．
（1）当a?2时，求曲线y?f?x?在点A?1,f?1??处的切线方程； （2）求函数f?x?f(x)的极值． 解：函数f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)?1?a． x2（1）当a?2时，f(x)?x?2lnx，f?(x)?1?(x?0)，?f(1)?1,f?(1)??1，
x?y?f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y?1??(x?1)，即x?y?2?0．
ax?a?,x?0可知： xx①当a?0时，f?(x)?0，函数f(x)为(0,??)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a?0时，由f?(x)?0，解得x?a；Qx?(0,a)时，f?(x)?0，x?(a,??)时，f?(x)?0， ?f(x)在x?a得极小值，且极小值为f(a)?a?alna，无极大值．
综上：当a?0时，函数f(x)无极值当a?0时，函数f(x)在x?a处取得极小值a?alna，无极大值．
（18）【2013年福建，理18，13分】如图，在正方形OABC中，点A的坐标为?10,0?，O为坐标原点，
（2）由f?(x)?1?点C的坐标为?0,10?．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1,A2LA9和B1,B2LB9，
*连结OBi，过Ai做x轴的垂线与OBi交于点Pi?i?N,1?i?9?．
（1）求证：点Pi(i?N,1?i?9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程； （2）过点C做直线与抛物线E交于不同的两点M,N，若?OCM与?OCN的面积比为
4:1，求直线的方程．
解：（1）依题意，过Ai?i?N*,1?i?9?且与x轴垂直的直线方程为x?i，?直线OBi的方程为y?QBi(10,i)，
?x?i122设Pi坐标为(x,y)，由?i得：y?x，即x?10y， ?10y?x?10??Pi(i?N*,1?i?9)都在同一条抛物线上，且抛物线E方程为x2?10y．
ix 10*?y?kx?10（2）依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为y?kx?10，由?2，得x2?10kx?100?0，
?x?10y此时??100k2+400?0，直线与抛物线E恒有两个不同的交点M,N．
x1?x2?10k设：M(x1,y1)N(x2,y2)，则?，QS?OCM?4S?OCN，?x1?4x2，又Qx1?x2?0，?x1??4x2 ??x1?x2??100?y?kx?1033分别带入?2，解得k??直线的方程为y??x+10，即3x?2y?20?0或3x+2y?20?0．
22?x?10y（19）【2013年福建，理19，13分】如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，侧棱AA1? 底面ABCD，
AB//CD，AA1?1，AB?3k，AD?4k，BC?5k，DC?6k?k?0?．
（1）求证：CD?平面ADD1A1；
6，求k的值； 7（3）现将与四棱柱ABCD?A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接
成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼 接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f?k?，写出f?k?的表达式（直接写出答案，不必要说明 （2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为
理由）．
解：（1）取CD中点E，连接BE，QAB//DE，AB?DE?3k，?四边形ABED为平行四边形，?BE//AD且
BE?AD?4k，在VBCE中，QBE?4k,CE?3k,BC?5k?BE2?CE2?BC2，
??BEC?90?，即BE?CD，又QBE//AD，所以CD?AD，QAA1?平面ABCD，
CD?平面ABCD，?AA1?CD，又AA1IAD?A，?CD?平面ADD1A1．
uuuruuuruuuur（2）以D为原点，DA,DC,DD1的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
uuurA(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，所以AC?(?4k,6k,0)，
uuuruuuruuur???4kx?6ky?0AC?n?0设平面AB1C的法向量n?(x,y,z)，则由?，得，AB1?(0,3k,1)，AA1?(0,0,1)，?r?uuu?3ky?z?0? ?AB1?n?0取y?2，得n?(3,2,?6k)，设AA1与平面AB1C所成角为?，
uuuruuur6k6AA1,n则sin??|cos?AA1,n?|?uuu??，解得k?1．故所求k的值为1． r36k2?137|AA1|?|n|5?272k?26k,0?k???18（3）共有4种不同的方案f(k)??．
5?36k2?36k,k??18?（20）【2013年福建，理20，14分】已知函数f?x??sin??x??????0,0?????的周期为?，图像的一个对称
???中心为?,0?，将函数f?x?图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向
4??右平移
?个单位长度后得到函数g?x?的图像． 2（1）求函数f?x?与g?x?的解析式；
????（2）是否存在x0??,?，使得f?x0?,g?x0?,f?x0?g?x0?按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的
?64?个数；若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F?x??f?x??ag?x?在?0,n??内恰有2013个零点．
?解：（1）由函数f(x)?sin(?x??)的周期为?，??0，得??2，又曲线y?f(x)的一个对称中心为(,0)，
4?????(0,?)故f()?sin(2???)?0，得??，所以f(x)?cos2x，将函数f(x)图象上所有点的横坐
442?标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y?cosx的图象，再将y?cosx的图象向右平移个单位
2长度后得到函数g(x)?sinx．
12??1（2）当x?(,)时，?sinx?，0?cos2x?，所以sinx?cos2x?sinxcos2x，问题转化为方程
226422cos2x?sinx?sinxcos2x在(?,?)内是否有解，设G(x)?sinx?sinxcos2x?2cos2x，x?(?,?)
6464????则G?(x)?cosx?cosxcos2x?2sin2x(2?sinx)，因为x?(,)，所以G?(x)?0，G(x)在(,)内单 6464?2?1??调递增又G()???0，G()??0，且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在(,)内 426464??存在唯一零点x0，即存在唯一的x0?(,)满足题意．
64（3）解法一：
依题意，F(x)?asinx?cos2x，令F(x)?asinx?cos2x?0，当sinx?0，即x?k?(k?Z)时， cos2x?1，从而x?k?(k?Z)不是方程F(x)?0的解，所以方程F(x)?0等价于关于x的方程
cos2x，x?k?(k?Z)，现研究x?(0,?)U(?,2?)时方程解的情况． a??sinxcos2x令h(x)??，x?(0,?)U(?,2?)，则问题转化为研究直线y?a与曲线y?h(x)在
sinxcosx(2sin2x?1)?3??，令，得或． x?(0,?)U(?,2?)的交点情况，h?(x)?h(x)?0x?x?2sinx22当x变化时，h(x)和h?(x)变化情况如下表
???3?3?3? x (0,) (,?) (?,) (,2?) 222222h?(x) ? ? ? ? 0 0 h(x) Z ] ] Z ?1 当x?0且x趋近于0时，h(x)趋向于??；当x??且x趋近于?时，h(x)趋向于??； 当x??且x趋近于?时，h(x)趋向于??；当x?2?且x趋近于2?时，h(x)趋向于??， 故当a?1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有无交点，在(?,2?)内有2个交点； 当a??1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有2个交点，在(?,2?)内无交点；
当?1?a?1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有2个交点，在(?,2?)内有2个交点
由函数h(x)的周期性，可知当a??1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,n?)内总有偶数个交点，
从而不存在正整数n，使得直线y?a与曲线y?h?x?在?0,n??内恰有2013个交点；当a??1时， 直线y?a与曲线y?h?x?在?0,??U??,2??内有3个交点，由周期性， 2013?3?671，?n?671?2?1342，综上，当a??1，n?1342时，函数F?x??f?x??ag?x?在?0,n??内恰有2013个零点． 解法二：
依题意，F?x??asinx?cos2x??2sin2x?asinx?1．现研究函数F?x?在(0，2?]上的零点的情况． 设t?sinx，p?t???2t2?at?1??1?t?1?，则函数p?t?的图象是开口向下的抛物线，又p?0??1?0， p??1???a?1，p?1??a?1．当a?1时，函数p?t?有一个零点t1?(?1，0) （另一个零点t2?1，舍去），
2?)；当a??1时，函数p?t?有一个零点t1?(0，1) F?x?在(0，2?]上有两个零点x1，x2，且x1，x2?(?，（另一个零点t2??1，舍去），F?x?在(0，2?]上有两个零点x1，x2，且x1，x2?(0,?)；当?1?a?1
0)，另一个零点t2?(0，1)，F?x?在(0,?)和(?，时，函数p?t?有一个零点t1?(?1， 2?)分别有两个零点．
由正弦函数的周期性，可知当a??1时，函数F?x?在(0,n?)内总有偶数个零点，从而不存在正整数 n满足题意．当a?1时，函数p?t?有一个零点t1?(?1，0)，另一个零点t2?1；当a??1时，函数p?t?
1)，从而当a?1或a??1时，函数F?x?在(0，有一个零点t1??1，另一个零点t2?(0，2?]有3个零点．
由正弦函数的周期性，2013?3?671，所以依题意得n?671?2?1342．
综上，当a?1，n?1342或a??1，n?1342时，F?x??f?x??ag?x?在(0,n?)内恰有2013个零点．
本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．
?12?（21）【2013年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知直线l:ax?y?1在矩阵A??对应??01?的变换作用下变为直线l':x?by?1．
（1）求实数a,b的值；
?x0??x0?（2）若点p(x0,y0)在直线上，且A?????，求点p的坐标．
?y0??y0?解：（1）设直线l:ax?y?1上任意一点M?x,y?在矩阵A对应的变换作用下的像是M??x?,y??
?x???12??x??x?2y??x??x?2y?由????，得，又点M??x?,y??在l?上，所以x??by??1， ????????01yyyy?y??????????a?1?a?1即x??b?2?y?1，依题意?，解得?．
?b?2?1?b??1?x0??x0??x0?x0?2y0（2）由A?????，得?，解得y0?0，又点P?x0,y0?在直线上，
yyy?y0?0??0??0所以x0?1故点P的坐标为?1,0?．
（21）【2013年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为
?极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为(2,)，直线的极坐标方程为
4??cos(??)?a，且点A在直线上．
4（1）求a的值及直线的直角坐标方程；
?x?1?cos?（2）圆c的参数方程为?，（?为参数），试判断直线与圆的位置关系．
y?sin????????解：（1）由点A?2,?在直线?cos?????a上，可得a?2，所以直线的方程可化为?cos???sin??2，
4?4???从而直线的直角坐标方程为x?y?2?0． （2）由已知得圆C的直角坐标方程为?x?1??y2?1，所以圆心为?1,0?，半径r?1，
以为圆心到直线的距离d?2?1，所以直线与圆相交． 223
（21）【2013年福建，理21（2），7分】（选修4-5：不等式选讲）设不等式x?2?a(a?N*)的解集为A，且?A，
2
1?A． 2（1）求a的值；
（2）求函数f?x??x?a?x?2的最小值． 313113解：（1）因为?A，且?A，所以?2?a，且?2?a，解得?a?，又因为a?N*，所以a?1．
222222（2）因为x?1?x?2??x?1???x?2??3，当且仅当?x?1??x?2??0，即?1?x?2时取得等号，
所以f?x?的最小值为3．
2013年高考福建理科数学试题及答案（word解析版）
