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第14章 超静定结构
14.1 复习笔记
超静定结构
用静力平衡方程无法确定约束反力或者内力的结构。
求超静定结构的基本方法：解除多余约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。
用力法方程求解超静定结构的一般步骤；
1．解除多余约束，并代之以约束力X1、X2、X3…，得到基本静定系统； 2．列出变形协调方程；
3．根据能量法确定方程中在相应力作用下引起的变形，将此物理关系代入，得到力法方程或方程组；
4．在相当系统上，根据静力平衡方程求解。
注意：在求解过程中，可利用结构上载荷的对称或反对称的性质来简化正则方程，以便求解。
对于增加n个中间支座而产生n次超静定的n＋1跨连续梁，可列出每一个中间支座的三弯矩方程进行求解
6?nan6?n＋1bn＋1Mn－1ln－1?2Mnln?Mn＋1ln＋1???lnln＋1
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圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 14.2 课后习题详解
14.1 用力法解题6.38，6.39和6.40。 解：（1）用力法解题6.38
解除支座A，代之以支反力为X1，其相当系统如图14-2-1所示。
图14-2-1
其力法方程为：δ11X1＋Δ1q＝0。
在已知载荷和单位载荷作用下的位移分别为：Δ1q＝－ql4/（8EI），δ11＝l3/（3EI）。 （2）用力法解题6.39
①若将横梁AB视为刚体，结构为一次静不定问题，解除支座A，代之以支反力为X1，其相当系统如图14-2-2（a）所示。
其力法方程为：δ11X1＋Δ1F＝0。
由静力平衡条件可得，在力F单独作用下：FN1＝F，FN2＝0。 当在A点单独作用一单位力时，有：FN1＝－2，FN2＝1。 则
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FNiFNiliFN1FN1lFN2FN2l??2?l12l5l?11=??????EAEAEAEAEAEA
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 2FNiFNiliFN1?FN1lFN2?FN2l??2?l12l?2Fl?1F=??????EAEAEAEAEAEA将以上两式代入力法方程得：X1＝2F/5。 故各杆内力：FN1＝F/5，FN2＝2F/5。
图14-2-2
②考虑横梁变形，结构为一次静不定结构，视杆2为多余约束，将其轴力FN2代之以约束力X1，其相当系统如图14-2-2（b）所示。
其力法方程为：δ11X1＋Δ1F＝0。
由静力平衡条件可得，在力F单独作用下：FN1＝F，FN2＝0，M1＝M2＝0。
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www.100xuexi.com FN1＝－2，FN2＝1
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圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 当在B点单独作用一单位力时，有
AC段：M1＝x（0≤x＜a）。
BC段：M2＝x＋FN1（x－a）＝2a－x（a≤x≤2a）。 故由莫尔定理可得
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FN?FN?lM?Mdx5l2a3?11=?????EAEIEA3EIFN?FN?lMMdx2Fl?1F=?????EAEIEA
将以上两式代入力法方程可得：X1＝－Δ1F/δ11＝6FlI/（15Il＋2a3A）。
故各杆内力：FN1＝[（3Il＋2a3A）/（15Il＋2a3A）]·F，FN2＝[6lI/（15Il＋2a3A）]·F。 （3）用力法解题6.40
图14-2-3
解除拉杆内力，代之以反力X1，其相当系统如图14-2-3所示。 其力法方程：δ11X1＋Δ1F＝0。
其中，q单独作用下，拉杆内力FN＝0。 AB的弯矩方程：M（x）＝－qx2/2，（0≤x≤4）。
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在B点单独作用一单位力时，拉杆内力FN1＝1。 AB的弯矩方程：M（x）＝x，（0≤x≤4）。 由莫尔定理得
lAB?11???1F??0FN?FN?lBCM?M645dx???EIEA3EIEA
4qlABMMdxFN?FN?lAB32q?????EIEA8EIEI
lAB0将以上结果代入力法方程得：
X1?645?3EIEA32EI
其中，查型钢表知16号工字钢的截面参数I＝1130cm4，W＝141×10－6m3，且弹性模量E＝200GPa，故可得X1＝14.5kN。
拉杆内最大正应力：σmax＝X1/A＝14.5×103/（π/4×0.012）Pa＝185MPa。 梁内最大弯矩发生在固定端截面处，且Mmax＝14.5×4－1/2×104×42kN·m＝－22KN·m。
梁内最大正应力：σ′max＝|Mmax|/W＝22×103/（141×10－6）Pa＝156MPa。
14.2 用力法解题6.35和6.41。 解：（1）用力法解题6.35
解除支座C，代之以支反力为X1，其相当系统如图14-2-4所示。
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刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(超静定结构)【圣才出品】
