《数学物理方程》模拟试题
一、填空题（3分?10=30分）
1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.
2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 (?u??u)?nS?f是第 （ ）类边界条件，其中S为边界.
2?2u2?u5.设函数u(x,t)的傅立叶变换式为U(?,t)，则方程2?a的傅立叶变换 2?t?x为 （ ） .
6.由贝塞尔函数的递推公式有
dJ0(x)?（ ） . dx21P2(x)?P0(x)= （ ）. 337.根据勒让德多项式的表达式有8.计算积分
?1?1[P2(x)]dx?（ ） .
29.勒让德多项式P1(x)的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .
二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：
2??2u2?u?2,0?x?3,t?0?22?t?x???0,u?0,u?1. x?0x?3??u?u?3x,?0,0?x?3t?0?t?0?t?
??u?2u?2,0?x?4,t?0??t?x???0,?0,u?ux?0x?42.
??2x?ut?0??3.
2??2u?u2?2?16,0?x?2,t?0??t22?x???0,?8,u?ux?0x?2 ??u?u??0,0?x?2t?0?t?0?t?
三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10
22222分）
??u?u??t?a?x?cosx,???x???,t?0??u ?ut?0?sin2x,?0t?0?t?
四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：
??2u??x?y?1,x?0,y?0??ux?0?y?1, ?u?1,?y?0?
五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：
J2(x)?J0(x)?题（10分）:
''1'J0(x)x
2?cos?，即所提问题归结为以下定解问r?1六、在半径为1的球内求调和函数u，使它在球面上满足u1?2?u1??u(r)?(sin?)?0,0?r?1,0????,22?r??r?rrsin???
ur?1?3cos2??1,0????.(本题的u只与r,?有关，与?无关)
《数学物理方程》模拟试题参考答案
一、 填空题：
1.初始条件，边值条件，定解条件.
2?u?2u?2u2?u2. ?a(2?2?2) ?t?x?y?z1??u1?2u3.(?)?2?0. 2????????4. 三.
d2U??a2?2U. 5.2dt6.?J1(x).
7.x2.
2. 51d29.(x?1). 2dx8.10.u?ln1(x?x0)?(y?y0)22.
二、试用分离变量法求以下定解问题
1.解 令u(x,t)?X(x)T(t)，代入原方程中得到两个常微分方程：
T''(t)?a2?T(t)?0，X''(x)??X(x)?0，由边界条件得到X(0)?X(3)?0，对?的情况讨论，只有
n2?2n?当??0时才有非零解，令???，得到????为特征值，特征函数，再X(x)?Bsinnn3232n?t2n?t;;解，得到，于是T(t)Tn(t)?Cncos?Dnsin33?2n?t2n?tn?xu(x,t)??(Cncos?Dnsin)sin,再由初始条件得到
333n?123n?18Cn??3xsinxdx?(?1)n?1,Dn?0，所以原定解问题的解为
303n??182n?tn?xu(x,t)??((?1)n?1cos)sin,
n?33n?12. 解 令u(x,t)?X(x)T(t)，代入原方程中得到两个常微分方程：
T'(t)??T(t)?0，X''(x)??X(x)?0，由边界条件得到X(0)?X(4)?0，对?的情况讨论，只有当
22n2?2n?令???，得到????为特征值，特征函数，再解T(t)，X(x)?Bsin??0时才有非零解，nn24422得到
;Tn(t)?Cne?n2?2t16，于是u(x,t)??n?1?(Cne?n2?2t16sinn?x,再由初始条件得到4n2?2t??24n?1616n?xn?1Cn??2xsinxdx?(?1)，所以原定解问题的解为u(x,t)??(?1)n?1e16sin,
044n?4n?1n?3.解 由于边界条件和自由项均与t无关，令u(x,t)?v(x,t)?w(x)，代入原方程中，将方程与边界条件同
?2v?2v''''2时齐次化。因此2?4[2?w(x)]?16?4w(x)?16?w(x)??2x?c1x?c2，再由边界条件有
?t?xw(0)?0,w(2)?8，于是c1?8,c2?0，w(x)??2x2?8x.再求定解问题
2??2v2?v?2,0?x?2,t?0?22?t?x???0,?0,v?vx?0x?3??v?v??w(x),?0,0?x?2t?0?t?0?t? 用分离变量法求以上定解问题的解为
1632n?x(?1)n?33[(?1)n?1])cosn?tsin,故n?2n?n?1?1632n?x2u(x,t)?8x?2x??((?1)n?33[(?1)n?1])cosn?tsin,
n?2n?n?1三.解令u(x,t)?v(x,t)?w(x)，代入原方程中，将方程齐次化，因此v(x,t)??(?2?2v12?v''2''?a[?w(x)]?cosx?aw(x)?cosx?0?w(x)?cosx，再求定解问题222?t?xa??????v?2?2v2?v?a,t?022?t?x1?v?sin2x?2cosxw(x),t?0a?t 由达朗贝尔公式得到以上问题的解为
t?0?0,111v(x,t)?[sin2(x?at)?2cos(a?at)?sin2(x?at)?2cos(x?at)]?02aa1?sinxcosat?2cosxcosata11u(x,t)?sinxcosat?2cosxcosat?2cosx.
aa故
四.解 对y取拉普拉斯变换L[u(x,y)]?U(x,p)，对方程和边界条件同时对y取拉普拉斯变换得到
dU111111?,Ux?0?2?，解这个微分方程得到U(x,p)?2x?2?，再取拉普拉斯逆变换有dxppppppu(x,y)?yx?y?1
所以原问题的解为u(x,y)?yx?y?1. p
d?n(xJn(x))??x?nJn?1(x)有xJ'n(x)?nJn(x)??xJn?1(x)，令n?1 dx1'''''有xJ1(x)?J1(x)??xJ2(x)，所以J2(x)??J'1(x)?J1(x)，又J0(x)??J1(x),J0(x)??J1(x)，
x1'''所以J2(x)?J0(x)?J0(x).
x五.证明 由公式
nu(r,?)?Cr?nPn(cos?)，由边界条件六．解 由分离变量法，令u(r,?)?R(r)?(?)，得到
n?0?有
ur?1?3cos2??1??CnPn(cos?)n?0?，令
cos??x，
?3(2x2?1)?1?6x2?2?c0P0(x)?c1P1(x)?c2P2(x)，6x2?2?c0?c1x?c21(3x2?1)，
21?c0?0,c1?0,c2?4，故u(r,?)?4r2(3cos2??1)?6r2cos2??2r2
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成都理工数学物理方程试卷
