一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2． （1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．
【答案】（1）k?【解析】
试题分析：（1）方程有两个实数根，可得??b2?4ac?0，代入可解出k的取值范围； （2）由韦达定理可知，x1?x2?2?k?1?,x1x2?k，列出等式，可得出k的值．
21；（2）k?3 2试题解析：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2， ∴k1＝1，k2＝－3. ∵k≤
1； 21，∴k＝－3. 2
2．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y?x?1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y?x?1的零点． 己知函数y?x?2mx?2(m?3)(mm为常数)．
2（1）当m=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且
111???，此时函数图象与x轴的交点分 x1x24别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线y?x?10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
【答案】（1）当m=0时，该函数的零点为6和?6． （2）见解析,
（3）AM的解析式为y??【解析】 【分析】
（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析
1x?1． 2式 【详解】
（1）当m=0时，该函数的零点为6和?6．
（2）令y=0，得△=∴无论m取何值，方程
即无论m取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有由
解得
，．
．
总有两个不相等的实数根．
∴函数的解析式为令y=0，解得∴A(
)，B(4,0)
作点B关于直线y?x?10的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线y?x?10的交点就是满足条件的M点．
易求得直线y?x?10与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（10，?6）
设直线AB’的解析式为y?kx?b，则
?2k?b?01{，解得k??，b??1 10k?b??62∴直线AB’的解析式为y??即AM的解析式为y??1x?1， 21x?1． 2
3．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣则：
）×（+
）﹣（1﹣﹣
）（+
），令+
＝t，
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣（+
）
）×（+
）﹣（1﹣﹣
）×
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）仿照材料内容，令+
＝t代入原式计算．
；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．
（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解． 【详解】 （1）令+
原式＝（1﹣t）（t+
＝t，则： ）﹣（1﹣t﹣
）t＝t+﹣t2﹣
﹣t+t2+
＝
（2）令a2﹣5a＝t，则：
原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当x2+4x＝0时， x（x+4）＝0 解得：x1＝0，x2＝﹣4 当x2+4x＝﹣4时， x2+4x+4＝0 （x+2）2＝0 解得：x3＝x4＝﹣2 【点睛】
备战中考数学易错题专题训练-一元二次方程练习题含详细答案
