第三讲 柯西不等式与排序不等式
第一课时 二维形式的柯西不等式
[基础达标]
1.设a＝(－2，1，2)，|b|＝6，则a·b的最小值为 A.18 C.－18
B.6
D.12
解析 ∵|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤18，∴－18≤a·b≤18， a·b的最小值为－18，故选C. 答案 C
2.已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是 5
A. 6
6
B. 5
25
C. 36
36D. 25
1166
解析 2x2＋3y2＝[(2x)2＋(3y)2][(3)2＋(2)2]×≥(6x＋6y)2＝(x＋y)2＝. 555532
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时等号成立.
55答案 B
3.函数y＝x－5＋26－x的最大值是 A.3
B.5
C.3
D.5 6－x≤
12＋22×
解析 根据柯西不等式，知y＝1×（x－5）2＋（6－x）2＝5，
x－5＋2×
26
当且仅当6－x＝2x－5，即x＝时，等号成立.
5答案 B
4.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________. 解析 根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5. 答案
5
a2b2
＋≥2. 2－a2－b
5.设a、b∈R＋且a＋b＝2.求证：证明 根据柯西不等式，有
?a＋b? [(2－a)＋(2－b)]·
?2－a2－b?
a?2?b?2???
＝[(2－a)2＋(2－b)2]???＋???
??2－a??2－b??
22
?2－a·a＋2－b·b?2≥??
2－a2－b??
＝(a＋b)2＝4，
a2b24
∴＋≥＝2， 2－a2－b（2－a）＋（2－b）当且仅当2－a·
ba
＝2－b·， 2－b2－a
即a＝b＝1时等号成立. ∴原不等式成立.
[能力提升]
111
1.已知a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是
ab2A.3 C.5
B.4 D.6
答案 C
2.已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是 A.2 C.3
B.2 D.3
解析 2x＋y≤（2＋1）（2x2＋y2）＝3，故选C. 答案 C
3.已知p，q∈R＋，且p3＋q3＝2，则p＋q的最大值为 A.2 1
C. 2
B.8 D.4
答案 A
4.设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝ab＋cd，Q＝am＋nc·Q间的大小关系为
A.P＜Q C.P＞Q 答案 B
bd
＋，则P、mn
B.P≤Q D.P≥Q
5.如果实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为常数，那么mx＋ny的最大值为
a＋bA.
2C.
解析 由柯西不等式，得(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab，当m＝n＝时，mx＋ny＝ab.
答案 B
6.已知a、b、c都是正数，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式中正确的是 A.(a＋b＋c)2≥3 111
C.＋＋≤23 abc答案 A
7.函数y＝3x－5＋46－x的最大值为________. 解析 ∵y2＝(3x－5＋46－x)2 ≤(32＋42)[(x－5)2＋(6－x)2] ＝25(x－5＋6－x)＝25， 当且仅当36－x＝4x－5，
134
即x＝时等号成立.∴函数y的最大值为5.
25答案 5
8.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________.
解析 根据二维形式的柯西不等式的代数形式知 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
可得(am＋bn)(bm＋an)＝(am＋bn)(an＋bm)≥(am·an＋bn·bm)2＝mn(a＋b)2
ambn
＝2×1＝2，当且仅当＝，即m＝n＝2时，取得最小值2.
anbm
答案 2
9.函数y＝x－4＋25－5x的最大值为________.
B.a2＋b2＋c2≥2
D.a＋b＋c≤
1 3abc
a，x＝y＝2
b2
B.ab D.
a2＋b2
2
a2＋b2
2
解析 ∵y＝x－4＋25－5x， ∴y＝1×x－4＋5×5－x ≤（1＋5）（x－4＋5－x）＝6
?当且仅当5－x＝5·x－4，即x＝25时等号成立?.
6??
答案
6
10.已知a，b∈R＋，且a＋b＝1. 求证：(ax＋by)2≤ax2＋by2.
证明 设m＝(ax，by)，n＝(a，b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m|·|n|
＝（ax）2＋（by）2·（a）2＋（b）2 ＝ax2＋by2·a＋b＝ax2＋by2， ∴(ax＋by)2≤ax2＋by2.
11.已知关于x的不等式|x＋a| 解析 (1)由|x＋a| ??－b－a＝2， 则?解得a＝－3，b＝1. ?b－a＝4，? (2)－3t＋12＋t＝34－t＋t ≤[（3）2＋12][（4－t）2＋（t）2] ＝24－t＋t＝4， 当且仅当4－tt ＝，即t＝1时等号成立， 13 故(－3t＋12＋t)max＝4. 3 12.已知α、β∈(0，π)，且cos α＋cos β－cos(α＋β)＝，试求α、β的值. 2解析 已知等式可化为 3 sin β·sin α＋(1－cos β)cos α＝－cos β.① 2将①式平方得 2 ?3－cos β?＝[sin β·sin α＋(1－cos β)cos α]2 ?2? ≤[sin2β＋(1－cos β)2](sin2α＋cos2α) ＝2(1－cos β)， 3?∴??2－cos β?－2(1－cos β)≤0. 11cos β－?≤0，∴cos β＝. ∴?2??2∵β∈(0，π)，∴β＝∴α＝β＝ π . 3 ππ，代入已知得α＝. 33 22
人教A版数学选修4-5抢分教程能力提升：第3讲 柯西不等式与排序不等式 第一课时
