由一道20xx年中考试题引发的研究性学习
一、试题呈现
题目：（20xx年浙江省温州市初中学业考试数学试题16）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）.图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2,S3,若S1+S2+S3=10，则S2的值是_____.
解：由图知S1+S3=2S2,∴S2=103. 二、试题中数学文化的探究
赵爽，又名婴，字君卿，东汉末至三国时代人，我国汉代数学家，
天文学家.曾注《周髀算经》，他所作的《周髀算经注》中有一篇
《勾股圆方图注》其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上
极有价值的文献.它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：
“勾股各自乘，并之，为弦实.开方除之，即弦.”证明方法叙述为：
第 1 页 共 6 页
“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相
乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”（见图1）《勾股圆方图注》中还推导出二次方程 (其中a>0,A>0)的求根公式，在《日高图注》中利用几何图形面积关系，给出了“重差术”的证明（汉代天文学家测量太阳高、远的方法称为重差术）.赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.他是中国最早证明勾股定理的人.记录这一证明的赵爽注《周髀算经》宋刻本，现存上海图书馆.
世界名题是数学大师们的智慧的沉淀，其蕴含的独特的构思、颇具创造性的思维技巧以及精彩的结论都是数学中的瑰宝.课标把“体现数学文化价值”列入新课程的十大基本理念，强调“数学课程应当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对社会发展的推动作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神”,本试题以我国汉代数学家赵爽的“弦图”为背景具有基础、公平、文化性，又有区分度，能激发学生的学习兴趣，体现新课标理念，同时对学生进行了爱国教育，增强学生的爱国热情.
三、勾股定理教学方法探究
在初二几何的《勾股定理》的教学中，我以往讲授新课时，总是照本宣科地将知识传授给学生，学生知其然，却不知其所以
第 2 页 共 6 页
然，失去了对知识、技能、方法的领悟过程，教学效果很不理想.现在我先给学生讲“勾股定理”的历史及其一些著名的证明方法，特别是我国古代数学家赵爽用面积法的证明方法，把学生带入勾股定理的教学情境中.并介绍：《九章算术》记载：今有勾三尺，股四尺，问为弦几何.答曰：五尺.我国古代称直角三角形的短直角边为勾，长直角边为股，斜边为弦.又如《周髀算经》称：“勾广三，股修四，径隅五.”课本表述为：勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理作为几何学中一条重要的定理，古往今来，有无数人探索它的证明方法.当我告诉学生它的证明方法有500来种时，更让学生们大吃一惊.接着向学生介绍历史上几种著名的证法.我发挥信息技术的优势，利用现代教育媒体，配合教学课件，为学生展现证明的过程，使学生印象更深刻.
方法1：刘徽以割补术论证这一定理（图1）.
方法2：赵君卿注里记载的证法（图2）：2ab+(b-a)2=c2，化简为 a2+b2=c2.
方法3：利用相似三角形的性质的证法 （图3）：直角三角形ABC，AD为斜边BC上的高.利用相似三角形的性质可得：AB∶BC=BD∶AB，即ABAC
2=BD×BC，AC∶BC=DC∶AC，即
2=BD×BC+DC×BC=
2=DC×BC，两式相加得：AB2+AC
（BD+DC）×BC=BC2 .
第 3 页 共 6 页
方法4：如图4：两个正方形边长分别是a，b，它们的面积和为 a2+b2.
如图5，在图4的基础上，构造了以a，b为直角边的直角三角形，斜边为c.在图5的基础上把两个直角三角形顺时针旋转90°，构成了如图6的正方形，且它的边长为c，即面积为c定理得证.
在演示课件时，向学生详细介绍这几种证明方法，让学生清楚运用割补法、等比法、代数法等可证明定理.学生们观看了教师所演示的勾股定理的几种证法之后，有了一种豁然开朗的感觉.接着让学生用课前准备的材料，自己动手试一试.
要求：用8个全等的直角三角形，它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c；3个边长分别为a，b，c的正方形，用拼图的方法来证明勾股定理，即赵爽的弦图法.
在教师的指导下，学生很快就把勾股定理证出来了（如图7）.由于引入了勾股定理的历史背景，及简明、巧妙的证法，激发了学生的学习动机和好奇心，培养了学生的求知欲望.在教学过程中，教师还要求学生自己动手实践，使学生深入其境，真正作为一个主体去从事研究工作，调动了学生学习的积极性和主动性，提高学生运用知识解决实际问题的能力和动手能力.
四、赵爽弦图试题编制例举
以赵爽弦图为背景材料来命制试题，早已在高考、中考、 普通考试中广泛使用.
2.
第 4 页 共 6 页
【例1】 （20xx年，北京高考理，13）2002年在北京召开的国际数学家
大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦
图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方
形（如图8）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直
角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于____. 【例2】 （20xx年，湖北中考，10）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽如图9所示，它由四个相同的直角三角形拼成，若较长直角边为3，较短直角边为2，则图中大正方形与小正方形的面积之比是（ ）.
五、“赵爽弦图”的美学意义
2002年中国举办国际数学家大会以及会标中蕴含的故事是这样的：国际数学家大会，简称
ICM，由国际数学联盟举办，是每
4年举行一次的世界数学家的盛会，也是最高水平的全球性数学科学学术会议，会上颁发的 “菲尔兹奖”，被誉为“数学诺贝尔奖”.2002年ICM在中国北京举行.这是国际数学家大会105年来第一次在发展中国家举办，表明了中国数学国际地位的上升.国家邮政局为此发行了一枚邮资明信片，邮资图就取自大会会标，由4个全等的直角三角形及它们围成的一个正方形构成（如图10
第 5 页 共 6 页
由一道20xx年中考试题引发的研究性学习
