剩下的部分为正四面体 设正方体棱长为a， 则其体积为：V正方体?a
四个角上切下的每一个三棱锥体积为：
3V三棱锥?13Sh11213??(a)?a?a 326中间剩下的正四面体的体积为：
1?V正三棱锥3Sh11??[?(322a)2?sin60?]?(2a)2?(22a??3)322?133a这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体 即：
13133 ?4??6a3aa（2） 外接球
正方体与其体内最大的正四面体有相同的外接球。（理由：过不共面的四点确定一个球。）正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所以它们共球。
回顾：① 两点定线 ② 三点定面 ③ 三点定圆 ④ 四点定球 如图：
(a)正方体的体对角线=球直径 (b)正四面体的外接球半径=高 (c)正四面体的棱长=正方体棱长?2 (d)正方体体积：正四面体体积=3：1 (e)正方体外接球半径与
正四面体外接球半径相等 （3） 正方体的内切球与正四面体的关系
34
（a） 正方体内切球直径=正方体棱长
（b） 正方体内切球与正四面体的四条棱相切。
（c） 与正四面体四条棱相切的球半径=正方体棱长的一半 （d） 设正四面体棱长为a，则与其棱都相切的球半径为r1
有：r1??7、
12a2?2 4a利用祖暅原理推导球体体积。
构造一个几何体，使其截面与半球截面处处相等，根据祖暅原理可得两物体体积相等。
证明：作如下构造：在底面半径和高都是r的圆柱内挖去一个与圆柱等底等高的圆锥。如图： 在半球和挖去圆锥后的组合体的相同截面上作研究，设圆柱和半球底面半径均为R，截面高度均为h，倒圆锥的截面半径为r锥1，半球截面半径为
h rr锥1球1 h R r球1，
2则：挖去圆锥后的组合体的截面为：S1??R2??r锥 12半球截面面积为：S2??r球 1∵倒圆锥的底面半径与高相等，由相似三角形易得：r锥1?h 在半球内，由勾股定理易得：r球1?2R2?h
2∴S1??R2??h S2??R2??h2
即：S1?S2，也就是说：半球与挖去倒圆锥后有圆柱在相同的高度上有相同的截面。
由祖暅原理可得：V1?V2
2324即，球体体积：V球?2??R3??33所以半球体积：V半球?Sh?Sh?Sh????R2?R??R3
132323R3
8、 正方体与球
（1） 正方体的内切球
正方体的棱长a?球体的直径d V正方体?a V球?3d?1?3 443??()6a3?r323 V正方体： V球?6:? （2） 正方体的外接球
正方体的体对角线3a?球体的直径d
V球?d?3?3 443??()2a3?r323 V球： V正方体?3?:2
（3） 规律：
①正方体的内切球与外接球的球心为同一点； ②正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上； ③正四面体的内切球与外接球的的半径之比为：1:3 ④正四面体内切球与外接球体积之比为：1：33 ⑤正四面体内切球与外接球表面积之比为：1：3
⑥正方体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为：3:2：1 ⑦正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：33?:6:? ⑧正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为：3?:6:? 9、
正四面体与球
（1）正四面体的内切球
解题关键：利用体积关系思考
内切球的球心到各个面的距离相等，球心与各顶
点的连线恰好把一个正四面体分成四个三棱锥，每个三棱锥的底面为原正四面体的底面，高为内切球的半径r。
利用体积关系得：4?（?所以：r?112112sin60??)?r3?(2asin60?)?h 32a1，其中h为正四面体的高。 h4?由相关计算得：h16? 4h12aa2?[21?(a?3)]322?6 3a∴r?
即：V球?443??(?r336a)123?63?a 216V正四面体?112623?asin60??? aa32312∴V正四机体：V球?18:3?
（2）正四面体的外接球
外接球的半径=?高??33434a2?(23?a)322=
6a 4 V球?443??3?r3(6a)4?63?a 8 V正四面体??112623sin60??? 32a3a12a6?8∴V球:V正四面体?（3）规律：
a3:23?33?:2 a12①正四面体的内切球与外接球的球心为同一点； ②正四面体的内切球与外接球的球心在高线上； ③正四面体的内切球与外接球的的半径之和等于高； ④正四面体的内切球与外接球的半径之比等于1：3 ⑤正四面体内切球与外接球体积之比为：1：27 ⑥正四面体内切球与外接球表面积之比为：1：9
⑦正四面体外接球半径、正四面体棱长、内切球半径比为：36:12：6 ⑧正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：273?:18:3?
空间几何体的表面积和体积公式大全
