数学试卷
=﹣（x﹣1）+
2
，
．
故当x=1时，S△P1BE（max）=
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质， 解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三
角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度．
（2019?沈阳）如图，?ABC中，AE交BC于点D，?C??E，AD=4，BC=8，BD:DC=5：3，则DE的长等于（ ） A．
（2019?恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
20151617 B． C． D． 3434
A． 1：4
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，
又知AB=DC，即可得出DF：FC的值． 解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
则△DFE∽△BAE， ∴
=
，
B． 1：3
C． 2：3
D． 1：2
∵O为对角线的交点， ∴DO=BO，
数学试卷
又∵E为OD的中点， ∴DE=DB， 则DE：EB=1：3， ∴DF：AB=1：3， ∵DC=AB， ∴DF：DC=1：3， ∴DF：FC=1：2． 故选D．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的
关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值． （2019?黄石）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果
ACBC，那么称点C为线段?ABACAB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分
割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果
S1S2?，那么称直线为该图形的黄金分割线. SS1（1）如图2，在△ABC中，?A?36°，AB?AC，?C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在直角梯形ABCD中，?D??C?90，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论. · A
· C 图1
· B
A
D 图2
B
图3
C
A
D C A
B
H B D
F C 图4
E
数学试卷
解析：
解：（1）点D是AB边上的黄金分割点，理由如下：
∵?A?36°，AB?AC ∴?B??ACB?72° ∵CD平分?ACB ∴?DCB?36° ∴?BDC??B?72° ∵?A??BCD，?B??B ∴△BCD ∽△BAC ∴
BCBDAB?BC 又∵BC?CD?AD ∴
ADBDAB?AB ∴D是AB边上的黄金分割点 ············（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，则
S11ADC?12AD?h，SDBC?2BD?h，SABC?2AB?h ∴SADC:SABC?AD:AB，SDBC:SADC?BD:AD
∵D是AB的黄金分割点 ∴
ADAB?BDAD ∴SADC:SABC?SDBC:SADC
∴CD是△ABC的黄金分割线 ············
（3）GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线
3分）3分） （
（ 数学试卷
∵BC∥AD
∴△EBG ∽△EAH，△EGC ∽△EHD
BGEG ① ?AHEHGCEG ② ?HDEHBGGCBGAH由①、 ②得 即 ③ ??AHHDGCHD∴
同理，由△BGF ∽△DHF，△CGF ∽△AHF得
BGGCBGHD 即 ④ ??HDAHGCAHAHHD由③、④得 ?HDAH∴AH?HD ∴BG?GC
∴ 梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等 ∴S梯形ABGH?S梯形GCDH?1S梯形ABCD 2∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线 ······· （3分）
（2019?荆州）如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，角∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S四边形BDEF为D
A.3：4 B.1：2 C.2：3
AD.1：3
FEDCB
（2019?武汉）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． （1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证
DEAD； ?CFCD（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得
DEAD成立？并证明你的结论； ?CFCDDE的值． CFAFGBD（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出
AFGDAFGDEEEBC数学试卷
解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°， ∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴（2）当∠B+∠EGC＝180°时，
DEAD． ?CFDCDEAD成立，证明如下： ?CFDC 在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM． ∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM， ∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED． ∴△ADE∽△DCM，
EB第24题图②AFGDMDEADDEAD∴，即． ??CFDCCMDCDE25（3）． ?CF24
C（2019?孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2019届中考数学试题分类汇编：图形的相似(含解析)
