数学试卷
（2019，永州）如图，已知AB?BD，CD?BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由； （2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m,n,l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？
A
（2019?巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米 ．
CBPD?第25题图?
考点：相似三角形的应用．
分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似
比即可求解． 解答：解：∵DE∥BC，
数学试卷
∴△ADE∽△ACB，即则
=
，
=，
∴h=1.5m． 故答案为：1.5米．
点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后
根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
（2019，成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，?A??C?90o，
BD?BE，AD?BC.
（1）求证：AC?AD?CE；
（2）若AD?3，CE?5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ?DP，交直线BE与点Q；
i）当点P与A，B两点不重合时，求
DP的值； PQii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程）
（1）证△ABD≌△CEB→AB=CE；
（2）如图，过Q作QH⊥BC于点H，则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE， ∴
ADAPBHQH? ，； ? PHQHBCEC数学试卷
设AP=x ，QH=y，则有∴BH=
BHy? 353y3y，PH=+5?x 55∴
33y?5?x5?x，即(x?5)(3y?5x)?0 y又∵P不与A、B重合，∴x?5, 即 x?5?0， ∴3y?5x?0即3y?5x
∴
DPx3?? PQy5234 3(3)
（2019?广安）雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．
考点：作图—应用与设计作图． 专题：作图题．
分析：分直径在直角边AC、BC上和在斜边AB上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图
形即可．
解答： 解：根据勾股定理，斜边AB=
=4
，
①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时， ∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切， ∴=
，
数学试卷
解得r=4﹣4，
②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切， ∴
=，
解得r=2，
作出图形如图所示：
点评：本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的
性质，分别求出半圆的半径是解题的关键．
（2019?眉山）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为_________
AEAF1??，若△EBFC2
（2019?眉山）在矩形ABCD中，DC＝23，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF。 ⑴求证：△DEC∽△FDC；
⑵当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度。
A F D E B C
（2019?绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以
数学试卷
解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题： （1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值。 B
2019?内江）如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
D（图1）OCBOCBGAAAAO2?； AD3AO2?，试判断O是AD3S四边形BCHGSAGHOHCD（图2）D（图3）
A． 2：5
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：
S△ABF=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：EC的值，由AB=CD即可得出结论．
B． 2：3
C． 3：5
D． 3：2
2019届中考数学试题分类汇编：图形的相似(含解析)
