高中数学选修2-1课时作业
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
一、基础达标
1.若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是( ) A.若x≤y，则x2≤y2 C.若x2≤y2，则x≤y [答案] C
[解析] 由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题.
2.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( ) A.若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C.若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D.若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 [答案] B
[解析] 否命题是既否定题设又否定结论.
因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”.
3.命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 [答案] B
[解析] 原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“若a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题. 4.有下列四个命题，其中真命题有：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
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B.若x>y，则x2 高中数学选修2-1课时作业 ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题. 其中真命题的序号为( ) A.①②B.②③C.①③D.③④ [答案] C [解析] 命题①：“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题. 5.“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为_____________________________. [答案] 若x，y不全为零，则xy≠0 [解析] 由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”. 6.下列命题中： ①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②正方形的四条边相等； ③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形. 其中互为逆命题的有______；互为否命题的有______；互为逆否命题的有______(填序号). [答案] ②和③ ①和③ ①和② 7.已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”. (1)写出命题p的否命题； (2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论. 解 (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根.” (2)命题p的否命题是真命题. 证明如下： ∵ac<0，∴－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根. ∴该命题是真命题. 二、能力提升 8.命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有______个. [答案] 2 [解析] 原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命 2 高中数学选修2-1课时作业 题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题. 9.已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则： (1)逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”； (2)否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”； (3)逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”； 其中所有正确叙述的序号是________. [答案] (1)(2) [解析] 原命题的逆命题、否命题叙述正确.逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”. 10.已知：A表示点，a，b，c表示直线，α，β表示平面，给出下列命题： ①a⊥α，b?α，若b∥α，则b⊥a； ②a⊥α，若a⊥β，则α∥β； ③a?α，b∩α＝A，c为b在α上的射影，若a⊥c，则a⊥b； ④a⊥α，若b∥α，c∥a，则a⊥b，c⊥b. 其中逆命题为真的是________. [答案] ①②③ [解析] ④的逆命题：“a⊥α，若a⊥b，c⊥b，则b∥α，c∥a”，而b，c可以在α内，故不正确. 11.写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. 解 逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2； 否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b； 逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2. ∵原命题是假命题，∴逆否命题也是假命题. ∵逆命题是假命题，∴否命题也是假命题. 12.判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假. 解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可. 3 高中数学选修2-1课时作业 方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真. 方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真. 三、探究与创新 13.给出两个命题： 命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?； 命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数. (1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙有且只有一个是真命题； 分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围. 解 甲为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0， 1 即A＝{a|a>或a<－1}； 3 1 乙为真时，2a2－a>1，即B＝{a|a>1或a<－}. 2 1 (1)甲、乙至少有一个是真命题时，解集为A，B的并集，这时实数a的取值范围是{a|a>或 31a<－}. 2 1 (2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况：当甲真乙假时， 31 －1≤a<－. 2 11 所以甲、乙中有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围为{a| 4
高中数学选修2-1课时作业14：1.1.2 四种命题-1.1.3 四种命题间的相互关系
